Matrices et systèmes linéaires

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

 

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \ x-y+z&=&2 \ 2x+y-z & = & 1   \ end{array} right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =begin{pmatrix}
1 & 1&2 \
1 & -1&1\
2 & 1&-1\
end{pmatrix}$   ;  $X =begin{pmatrix}
x \
y\
z\
end{pmatrix} $   et

  $B =begin{pmatrix}
9\
2\
1\
end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =begin{pmatrix}
1 \
2\
3\
end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \3x+y& = &-7   \ end{array} right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$   ;   $X =begin{pmatrix}
x \
y\
end{pmatrix} $    et   

$B =begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}$.

En considérant $A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  displaystylefrac{1}{5}begin{pmatrix}
1 & 1 \
-3 & 2\
end{pmatrix}$   

$iff$   $A^{-1} = begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix} times begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}= begin{pmatrix}
-dfrac{15}{5} \
dfrac{10}{5}\
end{pmatrix}$.

$X=begin{pmatrix}
-3 \
2\
end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$

Matrice et système linéaire - Exercice

Exercice

 

Résoudre le système suivant à l’aide des matrices :

$left{ begin{array}{rccc} 2x – y = -8 \ 3x +y = -7 end{array}right.$

( AX = B)

 

Étape 1 : On commence par transformer le système sous forme de matrices.

Étape 2 : On vérifie que la matrice (A) est inversible.

Étape 3 : On calcule la matrice inverse de (A).

Étape 4 : On peut maintenant calculer la matrice (X).