Forme trigonométrique et exponentielle
Forme trigonométrique et exponentielle
Formes trigonométriques et exponentielles
Définition
On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.
On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$
On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$.
En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :
$ \boxed{z=|z|e^{i\theta}}$
Exemple
Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants :
$a=1+i$ ; $b=i$ et $c=2+2i\sqrt3$
Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.
En effet,
si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
Ainsi,
$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis
$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$.
Finalement :
$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.
De même,
$|b|=\sqrt{1^2}=1$ puis
$\dfrac{b}{|b|}=i = \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})$.
Finalement :
$b= \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})= e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Enfin,
$|c|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$ puis
$\dfrac{c}{|c|}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})$.
Finalement :
$c= 4 \left[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]= 4 e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Forme trigonométrique et exponentielle - Exercice 2
Exercice
Recherchons la forme trigonométrique et exponentielle de \( z_1 = 1 + i \).
Étape 1 : On écrit le nombre complexe sous sa forme trigonométrique à partir de son module et de son argument.
\(z= \left|z \right|(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Étape 2 : On en déduit sa forme exponentielle
\( z= \left|z \right|e^{i\theta}\) avec \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés
Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles
Opérations sur l’exponentielle complexe
Module
Par définition, on a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ donc
$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1$.
A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c’est-à-dire que son module vaut $1$.
Conjugué
Si $z=e^{i\theta}$ alors on a $\boxed{\bar z = e^{-i\theta}}$.
Périodicité et inverse
Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2\pi$ on a, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :
$\boxed{ e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}}$
On a, en outre, l’égalité suivante :
$\boxed{\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}}$.
Produit et quotient
Si $\theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :
$\boxed{{(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}}$.
De manière plus générale, si $\theta$ et $\theta’$ sont des réels quelconques :
$\boxed{e^{i(\theta+\theta’)}=e^{i\theta}\times e^{i\theta’}}$.
Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :
$\boxed{\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta’}}=e^{i(\theta-\theta’)}}$.
Exemple
On définit les deux nombres complexes $a=1+i$ et $b=2i$.
Calculer la forme exponentielle de $a$ puis de $b$ et en déduire celle de $a\times b$ et celle de $\dfrac{\bar a}{b}$.
En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément :
$a=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$ et
$b=2e^{i\frac{\pi}{2}}$.
On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:
$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})} $
$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i\frac{3\pi}{4}}$
De même, on a :
$\bar a = \sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$ donc
$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{i(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})}$
$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$.
Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés - Exercice 1
Exercice
Écrivons sous la forme exponentielle \(Z = \frac{(1 + i)^7}{(1 – i)^6} \).
Étape 1 : On réécrit le numérateur en utilisant la forme exponentielle de \(1 + i\) dont on connait le module et l’argument.
Étape 2 : On reconnaît au dénominateur le conjugué de l’expression du numérateur. Donc \(1 – i\) a le même module que \(1 + i\).
Étape 3 : De la même façon, on en déduit que l’argument de \(1 – i\) est l’opposé de l’argument de \(1 + i\).
Étape 4 : On utilise les propriétés de l’écriture exponentielle sur les exposants.
Étape 5 : On sait que \( arg(\frac{z}{z’}) = arg(z) – arg(z’) [2\pi] \).