Notation trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique et exponentielle

Formes trigonométriques et exponentielles

 

Définition

 

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

On note $|z|$ le module de $z$ et $theta$ un argument de $z$.

 

On a alors : $boxed{z=|z|(cos(theta)+isin(theta))}$

On appelle alors la quantité $|z|(cos(theta)+isin(theta))$ la forme trigonométrique de $z$.

En posant $e^{itheta} = cos(theta)+isin(theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :

$ boxed{z=|z|e^{itheta}}$

 

Exemple

Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants : 

$a=1+i$    ;   $b=i$  et   $c=2+2isqrt3$

 

Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.

En effet,

si $z=|z|(cos(theta)+isin(theta))$

alors $dfrac{z}{|z|}=cos(theta)+isin(theta)$.

 

Ainsi,

$|a|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt2$ puis

$dfrac{a}{|a|}=dfrac{sqrt2}{2}+idfrac{sqrt2}{2} = cos(dfrac{pi}{4})+isin(dfrac{pi}{4})$.

Finalement :

$a= sqrt2 left[cos(dfrac{pi}{4})+isin(dfrac{pi}{4})right]= sqrt2 e^{ifrac{pi}{4}}$.

 

De même,

$|b|=sqrt{1^2}=1$ puis

$dfrac{b}{|b|}=i = cos(dfrac{pi}{2})+isin(dfrac{pi}{2})$.

Finalement :

$b= cos(dfrac{pi}{2})+isin(dfrac{pi}{2})= e^{ifrac{pi}{2}}$.

 

Enfin,

$|c|=sqrt{2^2+(2sqrt3)^2}=4$ puis

$dfrac{c}{|c|}=dfrac{1}{2}+idfrac{sqrt3}{2} = cos(dfrac{pi}{3})+isin(dfrac{pi}{3})$.

Finalement :

$c= 4 left[cos(dfrac{pi}{3})+isin(dfrac{pi}{3})right]= 4 e^{ifrac{pi}{3}}$.

Forme trigonométrique et exponentielle - Exercice 2

Exercice

 

Recherchons la forme trigonométrique et exponentielle de ( z_1 = 1 + i ).

 

Étape 1 : On écrit le nombre complexe sous sa forme trigonométrique à partir de son module et de son argument.

(z= left|z right|(costheta+isintheta)).

Étape 2 : On en déduit sa forme exponentielle

( z= left|z right|e^{itheta}) avec (e^{itheta}=costheta+isintheta).

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l’exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a $e^{itheta}=cos(theta)+isin(theta)$ donc

$|e^{itheta}|=sqrt{cos^2(theta)+sin^2(theta)}=1$. 

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{itheta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c’est-à-dire que son module vaut $1$.

  

Conjugué

Si $z=e^{itheta}$ alors on a $boxed{bar z = e^{-itheta}}$.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2pi$ on a, pour tout $kin mathbb{N}$ :

$boxed{ e^{i(theta+2kpi)}=e^{itheta}}$

On a, en outre, l’égalité suivante :

$boxed{dfrac{1}{e^{itheta}}=e^{-itheta}}$.

 

 

Produit et quotient

Si $theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :

$boxed{{(e^{itheta})}^n=e^{intheta}}$.

De manière plus générale, si $theta$ et $theta’$ sont des réels quelconques :

$boxed{e^{i(theta+theta’)}=e^{itheta}times e^{itheta’}}$.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

$boxed{dfrac{e^{itheta}}{e^{itheta’}}=e^{i(theta-theta’)}}$.

 

Exemple

On définit les deux nombres complexes $a=1+i$ et $b=2i$.

Calculer la forme exponentielle de $a$ puis de $b$ et en déduire celle de $atimes b$ et celle de $dfrac{bar a}{b}$.

 

En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément : 

$a=sqrt2 e^{ifrac{pi}{4}}$ et

$b=2e^{ifrac{pi}{2}}$.

On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:

$acdot b = 2sqrt2 e^{i(frac{pi}{2}+frac{pi}{4})} $

$acdot b = 2sqrt2 e^{ifrac{3pi}{4}}$

 

De même, on a :

$bar a = sqrt2 e^{-ifrac{pi}{4}}$ donc

$dfrac{bar a}{b}= dfrac{sqrt2}{2}e^{i(-frac{pi}{4}-frac{pi}{2})}$

$dfrac{bar a}{b}= dfrac{sqrt2}{2}e^{-ifrac{3pi}{4}}$.

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés - Exercice 1

Exercice

 

Écrivons sous la forme exponentielle (Z = frac{(1 + i)^7}{(1 – i)^6} ).

Étape 1 : On réécrit le numérateur en utilisant la forme exponentielle de (1 + i) dont on connait le module et l’argument.

Étape 2 : On reconnaît au dénominateur le conjugué de l’expression du numérateur. Donc (1 – i) a le même module que (1 + i).

Étape 3 : De la même façon, on en déduit que l’argument de (1 – i) est l’opposé de l’argument de (1 + i).

Étape 4 : On utilise les propriétés de l’écriture exponentielle sur les exposants.

Étape 5 : On sait que ( arg(frac{z}{z’}) = arg(z) – arg(z’) [2pi] ).