Cours Cercle trigonométrique, longueur d’arc, radian
Exercice d'application

Exercice : Angles

 

Sur un cercle trigonométrique de centre $O$, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont les images respectives des réels $0$ ; $\dfrac{\pi}{3}$ ; $\dfrac{3 \pi}{4}$ ; $- \dfrac{\pi}{6}$

 

1) Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sur le cercle.

 

2) Donner une mesure en radian de chaque angle :

A) $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})$

B) $(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{OD})$

C) $(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OD})$

 

3) Donner les sinus et cosinus de $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})$ et $(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OD})$

 

 

1) 

cercle_plein_de_chiffre.jpg

 

 

2) A) $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}) = \dfrac{\pi}{3} - 0 = \dfrac{\pi}{3}$ $[2\pi]$

 

B) $(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{OD}) = - \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{2\pi}{12} - \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{-11 \pi}{12}$   $[2\pi]$

 

C) $(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OD}) =\dfrac{\pi}{3} - \left( {-\dfrac{\pi}{6}} \right) = \dfrac{2 \pi}{6} - \left( {- \dfrac{\pi}{6}} \right) = \dfrac{3 \pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$  $[2\pi]$

 

On sait que $(\vec{u} ; \vec{v}) = (- \vec{u} ; \vec{v}) - \pi$   $[2\pi]$

 

Ainsi : $(\vec{BO} ; \vec{DO}) = - \dfrac{\pi}{6} - \pi - \left( { \dfrac{\pi}{3} - \pi} \right) = - \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{2\pi}{6} = - \dfrac{3\pi}{6} = - \dfrac{\pi}{2}$   $[2\pi]$

 

 

3) $(\vec{OA} ; \vec{OB}) = \dfrac{\pi}{3}$   $[2\pi]$

Alors on a : 

 

$\left\{ \begin{array}{ll} {\cos \left( {\dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( {\dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} } \end{array} \right.$

 

 

 $(\vec{OB} ; \vec{OD}) = \dfrac{\pi}{2}$  $[2\pi]$

Alors on a :

 

$\left\{ \begin{array}{ll}{\cos \left( {\dfrac{\pi}{2}} \right) = 0 \\ \sin \left( {\dfrac{\pi}{2}} \right) = 1 } \end{array} \right.$