Produit scalaire - Exercice 1

Soient ( \overrightarrow{u} (frac{1}{2}, frac{3}{4}, 0)) et ( \overrightarrow{v} (frac{2}{3}, -frac{4}{9}, 1)).
( overrightarrow{u}) et (overrightarrow{v}) sont-ils orthogonaux ?

Étape 1 : On calcule le produit scalaire des deux vecteurs : ( \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = xx’ + yy’ + zz’)
Étape 2 : Le produit scalaire est nul, les deux vecteurs ( overrightarrow{u}) et (overrightarrow{v}) sont orthogonaux.

Produit scalaire - Exercice 2

Soient ( \overrightarrow{u} (1, 2, 3)) et ( \overrightarrow{v} (x, y, z)).
Cherchons un vecteur (overrightarrow{v}) orthogonal à ( overrightarrow{u}).

À retenir : On sait que ( overrightarrow{u}) et (overrightarrow{v}) sont orthogonaux si et seulement si ( \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = 0).
Étape 1 : On calcule le produit scalaire de (overrightarrow{u}) et (overrightarrow{v}).
Étape 2 : On pose arbitrairement les valeurs de (x) et (y).
Étape 3 : On en déduit la valeur de (z).
Étape 4 : On en déduit les coordonnées d’un vecteur orthogonal à (overrightarrow{u}).

Produit scalaire, norme et distance

Produit scalaire, norme et distance 

 

Définition :

 

Le produit scalaire de deux vecteurs $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ est un réel noté $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$ vérifiant $overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = |u|times|v|times cos(overrightarrow{u}.overrightarrow{v})$ si $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ non nuls (si l’un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut 0).

On en déduit alors que $overrightarrow{u}.overrightarrow{u} = |u|^2$

 

Formules de polarisation : 

 

Ces formules permettent de calculer les produits scalaires sans utiliser le cosinus.

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( |u+v|^2 -|u|^2 – |v|^2 \right )$

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( |u|^2 + |v|^2 – |v-u|^2  right )$

 

Preuve :

$begin{align}
|u+v|^2 &= (overrightarrow{u}+overrightarrow{v}).(overrightarrow{u}+overrightarrow{v}) \
&= overrightarrow{u}.overrightarrow{u} + overrightarrow{u}.overrightarrow{v}+ overrightarrow{v}.overrightarrow{u} + overrightarrow{v}.overrightarrow{v} \
&= |overrightarrow{u}|^2+ 2overrightarrow{u}.overrightarrow{v} + |overrightarrow{v}|^2 end{align}$
On obtient enfin la formule de polarisation en isolant $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$ dans l’équation précédente. 
Dans cette démonstration, on a utilisé la propriété de symétrie du produit scalaire, c’est à dire que $overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = overrightarrow{v}.overrightarrow{u}$.

On pourra essayer de démontrer la deuxième formule en développant cette fois-ci $|v-u|^2$.

 

Propriété :

 

Dans une base orthonormée, pour tous $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \ y \ z \end{array} right)$ et $overrightarrow{v}left ( \begin{array}{c}  x’ \ y’ \ z’  end{array}right)$,
$overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = xx’ + yy’ + zz’$ et $|u | = sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Exemple :

Soient $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \ \sqrt{3} \ 0 \end{array} right)$ et $overrightarrow{v}left ( \begin{array}{c}  -2 \ -sqrt{3} \ 1 end{array}right)$ deux vecteurs de l’espace,

Alors $overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = 1 \times (-2) + \sqrt{3} \times (- sqrt{3}) + 0 \times 1 = -2 – 3 = -5$  et $|u | = sqrt{1^2+sqrt{3}^2+0^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

 

Distance entre deux points, définition :

Soient $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ deux points de l’espace,

Alors la distance entre $A$ et $B$ vaut $AB = sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Exemple  

Soient $A(3; -1;0)$ et $B(0; 2; -1)$ deux points de l’espace,

alors $overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} -3 \ 3 \ -1 \end{array} right)$ et

$AB = sqrt{(-3)^2+3^2+1^2} = sqrt{19}$