Cours Stage - Intégration par parties
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Pourquoi utilise-t-on les intégrations par parties ?

Pour dériver des fonctions.

Car on ne connaît pas toujours la primitive d'une fonction.

Il s'agit en effet de calculer une intégrale lorsque l'on ne connaît pas une primitive de la fonction.

Pour permettre de calculer une primitive à l'aide d'un ordinateur.

Question 2

Que dit le théorème ?

$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [ u\times v \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$

C'est en effet le théorème.

$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b uv \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$

$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [ u\times v \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv \, \text{d}t$

Question 3

Dans le théorème, quelle hypothèse est faite sur les fonctions $u$ et $v$ ? 

$u$ et $v$ sont intégrables.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $[a, b]$.

En effet, $u$ et $v$ doivent être dérivables sur l'intervalle d'étude. 

Question 4

Sur quelle propriété déjà connue se base la démonstration ?

Sur la formule de dérivation d'un produit.

On utilise en effet que $(u\times v)' = u'v + uv'$.

Sur la formule de dérivation d'un quotient.

Sur la formule de dérivation de fonction composée.

Question 5

Quelle propriété de l'intégrale utilise-t-on pour écrire que $\displaystyle \int_a^b \big((uv)' - uv' \big) \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$ ? 

La loi de composition.

La dérivabilité de l'intégrale.

La linéarité de l'intégrale.

On utilise en effet que l'intégrale d'une somme de fonctions continues est égale à la somme des intégrales des fonctions continues. 

Question 6

Que vaut $\displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t$ ?

$uv$

$u(b) - v(a)$

$u(b)v(b) - u(a)v(a)$

En effet, $\displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$.

Question 7

Dans l'exemple du cours, $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$ pourquoi choisit-on $u' = e^t$ ?

Il n'y a pas de raison, on aurait pu choisir $u' = t$. 

Car la primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Ainsi, on choisit $v = t$ et $v' = 1$, ce qui facilite le calcul final. 

Car on prend toujours la fonction de droite comme étant égale à $u$.

Question 8

Que vaut $[f(x)]_a^b$ ?

$f(a) - f(b)$

$f(b) - f(a)$

C'est une définition.

$f(x)$

Question 9

Que vaut $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$ ?

On ne peut pas calculer cette intégrale.

$1$

C'est en effet la valeur que l'on trouve en intégrant par parties.

$+\infty$

Question 10

On peut utiliser l'intégration par parties pour calculer des primitives ? 

Oui

On peut en effet l'utiliser pour calculer une primitive.

Non