Cours Limites et asymptotes

Vrai / Faux - Les asymptotes

L'énoncé

Les affirmations suivantes sont-elles exactes ? Justifier vos choix.


Question 1

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x-1\).
Sa courbe représentative admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en \(-\infty.\)

FAUX

\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x -1 = -1\)

La droite déquation \(y=-1\) est donc asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(-\infty\).

Savez-vous à quelle condition une droite est asymptote à la courbe représentative d’une fonction ? Si vous avez besoin d’un rappel, regardez la vidéo !


Avez-vous calculé la limite de \(f\) en \(-\infty\) ?


On trouve : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x -1 = -1\).
Quelle droite est donc asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(-\infty\) ?

Question 2

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} - \{1\}\) par \(g(x) = \dfrac{2}{x-1}.\)
Sa courbe représentative admet l'axe des ordonnées pour asymptote verticale.

FAUX

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{x-1} = -2\)
L'axe des ordonnées n'est donc pas une asymptote verticale.

En revanche,
\(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{2}{x-1} = + \infty\), donc la droite d'équation \(x=1\) est une asymptote à la courbe représentative de \(g.\)

Savez-vous à quelle condition une droite est asymptote à la courbe représentative d’une fonction ? Si vous avez besoin d’un rappel, regardez la vidéo !


Pour savoir si l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de la fonction, il faut donc calculer la limite en 0.


Que conclut-on ?

Question 3

Soit \(h\) la fonction définie sur \( \mathbb{R}^*\) par $h(x) = \dfrac{1}{x}-3 $.

Sa courbe représentative admet la droite d'équation \(y=-3\) pour asymptote horizontale en \(+\infty\) et l'axe des ordonnées pour asymptote verticale.

VRAI

\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{x}-3 = -3\)
et
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}-3 = + \infty\)

\(\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}-3 = - \infty\)

Savez-vous à quelle condition une droite est asymptote à la courbe représentative d’une fonction ? Si vous avez besoin d’un rappel, regardez la vidéo !


Quelle est la limite de \(h\) en \(+\infty\) ?


\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x}-3 = -3\)
Qu’en conclut-on ?


Avez-vous calculé la limite de \(h\) en \(0\) par valeurs supérieures ?


$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}-3 = +\infty$

Question 4

Soit \(i\) la fonction définie sur \( \mathbb{R}\) par \(i(x)=2e^{1-3x}.\)
Sa courbe représentative admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(-\infty.\)

FAUX

\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}=2e^{1-3x} = 0\)
et
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}=2e^{1-3x} = + \infty\)

Donc la courbe représentative de \(i\) admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en \(+\infty\) mais pas en \(-\infty.\)

Savez-vous à quelle condition une droite est asymptote à la courbe représentative d’une fonction ? Si vous avez besoin d’un rappel, regardez la vidéo !


Avez-vous calculé la limite de \(i\) en \(+\infty\) et \(-\infty\) ?


Que doivent valoir ces limites pour que l’axe des abscisses soit asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(-\infty\) ?

Question 5

Soit \(k\) la fonction définie sur \( \mathbb{R} - \{1\}\) par \(k(x)= \dfrac{3x+1}{x-1}.\)
Sa courbe représentative admet la droite d'équation \(x=1\) pour asymptote verticale et la droite d'équation \(y=3\) pour asymptote horizontale en \(+\infty\).

VRAI

On a : \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} x-1 = 0^+\)   et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} 3x+1=4\) donc en passant au quotient,

\(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{3x+1}{x-1} = +\infty\)

Cette limite à droite prouve l'existence de l'asymptote verticale.

 

De plus,

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x+1}{x-1} = 3\)   (en factorisant par $x$ le numérateur et le dénominateur)  

Il faut calculer les limites de \(k\) en \(1\) et en \(+\infty\)