Cours Stage - Limites de fonctions
QCM
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L'énoncé

Cocher la bonne réponse.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Cocher la forme indéterminée.

$+\infty \times (+\infty)$

$+\infty \times (-\infty)$

$+\infty \times 0$

Il y a quatre formes indéterminées à connaître :

$\infty \times 0$    ; $\infty -\infty$  ;  $\dfrac{0}{0}$  et   $\dfrac{\infty}{\infty}$

$+\infty - (-\infty)$

Question 2

Cocher la forme indéterminée.

$\dfrac{0^+}{-\infty}$

$\dfrac{+\infty}{-\infty}$

Il y a quatre formes indéterminées à connaître :

$\infty \times 0$    ; $\infty -\infty$  ;  $\dfrac{0}{0}$  et   $\dfrac{\infty}{\infty}$

$\dfrac{+\infty}{0^-}$

$\dfrac{1}{0^+}$

Question 3

Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?

$\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$

Non

Oui, de la forme $\infty-\infty$

Le premier terme tend vers $+\infty$ et le second vers $-\infty$

Oui, de la forme $\infty\times 0$

Question 4

Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?

$\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$

Oui, de la forme $\infty\times 0$

Oui, de la forme $\infty -\infty$

Non

Chaque puissance de $x$x tend vers $- \infty$

Question 5

Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?

$\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} \dfrac{1}{2x^3+3x^2+5x}$

Non

C'est de la forme $\dfrac{1}{\infty}$ qui tend vers $0$

Oui, de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$

Oui de la forme $\dfrac{0}{0}$

Question 6

Calculer : $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$

$0$

$+\infty$

On factorise par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination :

$\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1=\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} x^3\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)$

On vérifie alors que la parenthèse tend vers $2$ et on est face à une expression de la forme $+\infty \times 2$ qui tend vers $+\infty$

$-\infty$

Question 7

Comment lever l'indétermination  pour calculer  $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}$ ?

Multiplier par la quantité conjuguée

Reconnaître un nombre dérivé

Factoriser par $x-1$

Factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

On utilise cette méthode lorsqu'on a une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$

Question 8

Calculer $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}$

$0$

$1$

$-1$

$\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}=\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} \dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(\frac{1}{x^2}-1)}$

On simplifie par $x^2$

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $-1$

Par quotient de limite $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}=-1$

 

$-\infty$

Question 9

Comment lever l'indétermination  pour calculer  $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}$ ?

On factorise par $x$

On utilise la quantité conjuguée.

Souvent utilisée avec les racines carrées et les formes du type $\infty -\infty$

On reconnait un nombre dérivé.

Question 10

Calculer $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}$

$1$

$+\infty$

$-\infty$

$0$

En effet $ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{(x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})}{x+\sqrt{x^2+1}}$ 

$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(\sqrt{x^2+1})^2}{x+\sqrt{x^2+1}}$ 

$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-x^2-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$ 

$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$ 

Il n'y a plus de forme indéterminée et 

$\displaystyle\lim_{x  \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}=0$