Cours Stage - Limites et exponentielles

Exercice - Etude d'une fonction exponentielle

L'énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}$


Question 1

Étudier les variations de la fonction $f$.

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la forme $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^{2x}−4$ et $ v(x)=e^{2x}+4$

On en déduit que $u'(x)=2e^{2x}$   et $ v'(x)=2e^{2x}$

Ainsi : $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

et $f'(x)= \dfrac{(2e^{2x})\times (e^{2x}+4)-(e^{2x}−4)\times (2e^{2x})}{(e^{2x}+4)^2}$

$f'(x) = \dfrac{16e^{2x}}{(e^{2x}+4)^2}>0$

 

Il faut dériver la fonction bien sûr.

Question 2

Dresser son tableau de variations. Soit $C_f$ la courbe représentative de $f$.

$f$ est donc strictement croissante sur son ensemble de définition.

Cherchons les limites aux bornes de son ensemble de définition.

On sait que $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^{2x}=0$ donc 

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{-4}{4}=-1$

 

De plus, On sait que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{2x}=+\infty$ donc on a une forme indéterminée.

Factorisons par le terme prépondérant :

$\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{e^{2x}(1-\frac{4}{e^{2x}})}{e^{2x}(1+\frac{4}{e^{2x}})}=\dfrac{(1-\frac{4}{e^{2x}})}{(1+\frac{4}{e^{2x}})}$

Or $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4}{e^{2x}}=0$ donc par quotient de limites, 

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{1}{1}=1$

 

Ainsi, on en déduit :

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Penser aussi aux limites aux bornes de l'ensemble de définition.

Question 3

Donner l'équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$. Tracer $T$ et $C_f$

Donnons l'équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$ :

Elle est de la forme $y-f(0)=f'(0)(x-0)$

Soit : $y=\dfrac{16}{25}x -\dfrac{3}{5}$

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L'équation est du type : $y-f(a)=f'(a)(x-a)$

Question 4

Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{3}{5}$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près.

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-1$ et  $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

Or $\dfrac{3}{5}\in ]-1;1[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=\dfrac{3}{5}$.

D'après la calculatrice : $1,38<\alpha<1,39$.

Il faut utiliser un théorème célèbre qui utilise la continuité et la monotonie de la fonction.