Cours Stage - Plans, droites, produit scalaire

Exercice - Produit scalaire

L'énoncé

Rappel : forme vectorielle du « théorème de la médiane ».

Soit $C$ et $D$ deux points de l'espace et $I$ le milieu de $[CD]$.

Quel que soit le point $M$ de l'espace, avec la médiane $MI$ du triangle $MCD$ on peut écrire :

$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} = 2 \overrightarrow{MI}$

et $MC^2 - MD^2 = 2 \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{DC}$


Question 1

Démontrer ce résultat.

On a $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} = ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})+( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})= 2 \overrightarrow{MI}$

et $MC^2 - MD^2 = (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}) . (\overrightarrow{MC} -\overrightarrow{MD})$

$=2 \overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{DM}+ \overrightarrow{MC})=2 \overrightarrow{MI}. \overrightarrow{DC}$