Cours Orthogonalité, projection orthogonale
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Soit $(d)$ la droite d'équation paramétrique 
$\left \{ \begin{array}{l} x = 3-2t \\ y = t \\ z = 1 + 4t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$)
La droite $(d)$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{l} 2 \\ 0 \\1\end{array} \right)$ ?

Oui

Non

En effet, pour que la droite $(d)$ soit orthogonale au plan, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal du plan.
Or son vecteur directeur est $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\4 \end{array} \right)$ qui n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{l} 2 \\ 0 \\1\end{array} \right)$.

On ne peut pas savoir

Comment doit être le vecteur directeur de $(d)$ par rapport au vecteur normal du plan ? 

Question 2

Soit $(d)$ la droite d'équation paramétrique 
$\left \{ \begin{array}{l} x = 3- t \\ y = 2 + t \\ z = 3  - 2t \end{array} \right.$, ($t \in \mathbb{R}$)
A quel plan la droite est-elle orthogonale ? 

Au plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ - 4 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\  4 \end{array} \right )\right )$

Au plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ - 4 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\  1 \end{array} \right )\right )$

Au plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\  1 \end{array} \right )\right )$

En effet, les vecteurs sont tout d'abord non colinéaires.
En outre, le vecteur directeur de $(d)$ est $\left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right )$.
De plus, $\left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right ) . \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ) = -1 \times 1 + 1 \times 1 -2 \times 0 = -1 + 1 = 0$.
Enfin, $\left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right ) . \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\  1 \end{array} \right ) = -1 \times (-2) + 1 \times 0 -2 \times 1 = 2 -2 = 0$.
Le vecteur directeur de $(d)$ est donc orthogonal au couple de vecteurs dirigeant le plan, $(d)$ est donc orthogonale au plan.

On pourra se rappeler que le vecteur directeur de $(d)$ doit être orthogonal au couple de vecteurs dirigeant le plan.

Question 3

Soit $\mathcal{P}$ un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\  4 \end{array} \right )$,
Trouver la ou les droites orthogonale(s) à $\mathcal{P}$. 

$(d)$ la droite d'équation paramétrique 
$\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 4 + 4t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$)

$(d')$ la droite d'équation paramétrique 
$\left \{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 + 4t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$)

En effet, pour que la droite $(d')$ soit orthogonale au plan, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal du plan.
Or son vecteur directeur est $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\4 \end{array} \right)$ qui est colinéaire à $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{l} 1 \\ 2 \\4\end{array} \right)$.

$(d'')$ la droite d'équation paramétrique 
$\left \{ \begin{array}{l} x = -4  - t \\ y = -3 - 2t \\ z = -4t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$)

En effet, pour que la droite $(d'')$ soit orthogonale au plan, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal du plan.
Or son vecteur directeur est $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\-4 \end{array} \right)$ qui est colinéaire à $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{l} 1 \\ 2 \\4\end{array} \right)$.

Il s'agit de trouver des droites de vecteur directeur colinéaire à $\mathcal{P}$. 

Question 4

Les droites $(d)$ d'équation paramétrique $\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$) et $(d')$ d'équation paramétrique $\left \{ \begin{array}{l} x =  2 + 3t \\ y = 5  - t \\ z = 1 - t \end{array} \right.$ ($t \in \mathbb{R}$) sont-elles perpendiculaires ? 

Oui

Non

Tout d'abord, on peut remarquer que les droites sont orthogonales. 
En effet $\left ( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right ) . \left ( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right ) = 3 + 1 - 4 = 0$.
Pour qu'elles soient perpendiculaires, il faut qu'elles soient sécantes.
On résout donc le système 
$\left \{ \begin{array}{lcl} 1 + t &=& 2 + 3t' \\ 2 - t &=& 5 - t' \\ 3 + 4t &=& 1 - t' \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcl} 1 + t &=& 2 + 3t' \\ t' &=& 3 + t \\ 3 + 4t &=& 1 - t' \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcl} 1 + t &=& 2 +9 +3t \\ t' &=& 3 + t \\ 3 + 4t &=& 1 - t' \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcl}  t &=& -5 \\ t' &=& 3 + t \\ 3 + 4t &=& 1 - t' \end{array} \right.$
$\iff \left \{ \begin{array}{lcl} t &=& -5 \\ t' &=& -2 \\ 3 + 4(-5) &=& 1 -(-2) \end{array} \right.$
On aboutit alors à une égalité fausse, les droites ne sont donc pas sécantes.
Elles ne sont donc pas perpendiculaires.

On ne peut pas savoir.

On se rappellera la différence entre orthogonale et perpendiculaire.

Question 5

Les plans suivants existent-ils ? Cocher la ou les bonnes réponses.

Le plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\  1 \end{array} \right )\right )$ et de vecteur normal $ \left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$

Le vecteur normal n'est pas orthogonal aux deux vecteurs.

Le plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2\\ 0 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c}3 \\3\\0 \end{array} \right )\right )$ et de vecteur normal $ \left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$

Les deux vecteurs dirigeant le plan sont colinéaires

Le plan dirigé par le couple $\left ( \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2\\ 0 \end{array} \right ), \left ( \begin{array}{c}4 \\4\\-2 \end{array} \right )\right )$ et de vecteur normal $ \left ( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$

En effet, les deux vecteurs du plan sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur normal. 

Quelle relation y a t il entre les vecteurs du plan et le vecteur normal au plan ?


Quelle condition doivent vérifier les vecteurs qui dirigent le plan ?