Cours Stage - La loi binomiale

Exercice - Loi binomiale

L'énoncé

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à \(\dfrac{1}{4}\).
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à \(\dfrac{1}{2}\).
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.

On définit les événements suivants :
– A : « le jardinier a choisi le lot 1 ».
– B : « le jardinier a choisi le lot 2 ».


Question 1

Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?

On a \(n=50\) tirages indépendants.
On a 2 issues possibles : la couleur de la tulipe est jaune ou non.
On s'intéresse à \(X\) le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1.
Donc \(X\) suit la loi Binomiale de paramètres :
\(p = P\) (« Obtenir une tulipe jaune du lot 1») = \(\dfrac{1}{4}\) et \(n = 50\).

On a le mot clé « NOMBRE de … ». Les tirages sont-ils indépendants ? A-t-on deux issues possibles ?


Voir le cours ou la vidéo sur la loi binomiale via les prérequis.


Le jardinier choisit le lot 1, le paramètre p est la probabilité d’obtenir une tulipe jaune pour un tirage.


On nommera \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot.

Question 2

Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?

\(X\) suit la loi Binomiale de paramètres \(p =\dfrac{1}{4}\) et \(n = 50\).
L' espérance de \(X \) est :
\( E(X) = n p = 50\times \dfrac{1}{4} = 12,5\) (Nombre de tulipes jaunes moyen.)

Connaissez-vous la formule de l’espérance mathématique de la loi ? Sinon regardez la vidéo sur l'espérance de la loi binomiale via les prérequis.

Question 3

Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat.

La probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes vaut :

\(P(X=15)=\binom{50}{15}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{15}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-15}\approx 0,089\)

Traduire la question avec la variable aléatoire \(X.\)