Cours Stage - La loi binomiale
Exercice d'application

Le directeur d'une entreprise a classé ses salariés en fonction de leur investissement dans la société.
Il a distingué 3 groupes:
groupe $A$ formé des $30$% des salariés qui s'investissent peu.
groupe $B$ formé des $50$% des salariés dont l'investissement est acceptable.
groupe $C$ formé des $20$% des salariés dont l'investissement est important.
Le directeur choisit $10$ fois de suite un salarié au hasard (les $10$ choix sont donc indépendants), et obtient ainsi un échantillon de $10$ salariés.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de salariés du groupe $A$ dans l'échantillon.
On définit de même $Y$ qui donne le nombre de salariés du groupe $B$ et $Z$ qui donne le nombre de salariés du groupe $C$.

Que dire de $X$, de $Y$ et de $Z$?
Déterminer $p(X=2), p(X≥3)$ (arrondies à $0,001$ près).
Déterminer $E(X), E(Y)$ et $E(Z)$.

 

Examinons $X$.
On peut restreindre chaque choix à 2 éventualités:
le salarié est du groupe $A$ (événement considéré comme un succès de probabilité $0,3$)
ou le salarié n'est pas du groupe $A$ (échec)
De plus, les 10 choix sont indépendants.
$X$ dénombre le nombre de succès obtenus.
$X$ suit donc une binomiale; plus précisément, on a: $X \sim\mathcal{B}(10;0,3)$.
On a: $Y\sim\mathcal{B}(10;0,5)$.
On a: $Z\sim\mathcal{B}(10;0,2)$.

A la calculatrice, on obtient: $p(X=2)≈0,233$.

$p(X≥3)=1−p(X<3)=1−p(X≤2)≈1−0,383≈0,617$.

$E(X)=10×0,30=3$
$E(Y)=10×0,50=5$.
$E(Z)=10×0,20=2$.