Cours Stage - Probabilités conditionnelles

Exercice - Probabilités conditionnelles et loi binomiale

L'énoncé

Un agriculteur possède 5 vaches et 1 taureau et espère les faire se reproduire. Après la saison des amours, on admet que 60 % des vaches sont enceintes, mais que l’agriculteur ne sait pas lesquelles. Afin de s’assurer d’avoir des veaux l’année suivante, il insémine l’ensemble des vaches manuellement. Si elle n’est pas déjà enceinte, une vache a alors 30 % de chance de le devenir.

On note :

$E_1$  : l’événement « la vache est enceinte après la saison des amours »

$\overline{E_1}$ : l’événement « la vache n’est pas enceinte après la saison des amours »

$E_2$ : l’événement « la vache est enceinte après l’insémination »

$\overline{E_2}$ : l’événement « la vache n’est pas enceinte après l’insémination »


Question 1

Réaliser un arbre de probabilité au brouillon.

Chronologiquement, on teste si $E_1$ est réalisé ou non en premier donc :

 -219 

Pour débuter l'arbre, soit $E_1$ est réalisé, soit il ne l'est pas.

Question 2

Quelle est la probabilité qu’une vache ne soit pas enceinte après la saison des amours mais qu’elle le devienne après l’insémination ?

Reformulons : "Quelle est la probabilité qu'une vache devienne enceinte après l’insémination sachant qu'elle n'est pas enceinte après la saison des amours ?"

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle dont la valeur est dans l'arbre :

$P_{\overline{E_1}}(E_2)=0,3$

Essayez de reformuler la phrase avec "Quelle est la probabilité que ... sachant que..." et la probabilité conditionnelle apparaitra. 

Question 3

Quelle est la probabilité qu’une vache soit enceinte ?

Popur qu'une vache soit enceinte, il faut qu'elle le soit après le passage à l'insémination donc que $E_2$ soit réalisé. Si $E_1$ est réalisé alors $E_2$ l'est aussi d'après l'énoncé.

$E_1$ et $\overline{E_1}$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule de probabilité totale :

$P(E_2)=P(E_2\cap E_1)+P(E_2\cap\overline{E_1})$

$P(E_2)=0,6\times 1 +0,4\times 0,3=0,72$

La probabilité qu’une vache soit enceinte est donc $0,72$

Lisez bien le texte et en particulier le passage à l'insémination.

Question 4

Quelle est la probabilité que toutes les vaches soient enceintes ? On arrondira le résultat à 10-2.

On considère le schéma de Bernoulli suivant :

Succès : $E_2$ est réalisé avec une probabilité égale à $0,72$

Echec : $E_2$ n'est pas réalisé

Choisir $5$ vaches revient à répéter de façon aléatoire et indépendante $5$ fois le schéma de Bernoulli.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de vaches enceintes. $X$ suit donc une loi binomiale de paramètre $\mathcal{B}(5\ ;\ 0,72)$

On a donc :

$P(X=5)=\binom{5}{5}(0,72)^5\times (0,28)^0$

$P(X=5)\approx 0,19$

On répète plusieurs fois le même test : savoir si une vache est enceinte.


Pensez au schéma de Bernoulli et à la loi associée.