Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Equation cartésienne d'un plan

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé. Écrire une équation cartésienne du plan $P$, sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur $P$ est le point $A(1; 5; 7)$.

L'énoncé de cet exercice est volontairement court et non guidé. Il s’agit de trouver la bonne méthode pour résoudre ce problème. Des figures ou brouillons sont très largement conseillés. 

Ecrivons une équation cartésienne du plan $P$, sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur $P$ est le point $A(1; 5; 7)$ :

Le vecteur  $\vec{OA}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que pour tout point $M(x; y; z)$ du plan $P$,   $\vec{AM}.\vec{OA} = 0$
$M$ appartient au plan $P \iff \vec{AM}.\vec{OA} = 0$

$\iff (x-1)(1-0) + (y-5)(5-0) + (z-7)(7-0) = 0$

$\iff x + 5y +7z - 75 = 0$


D'où l'équation du plan $P$.