La fonction exponentielle

La fonction exponentielle

La fonction \(f(x)=exp(x)\) est l’unique fonction définie par :

\(f'(x) = f(x)\)

\(f(0) = 1\)

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On la note : $exp(x)$= $e^x$

 

Remarque 

Pour tout $x\in \mathbb{R}, e^x>0$

 

Représentation graphique

 

fonction-exponentielle

Fonctions exponentielles - Propriétés analytiques

Propriétés analytiques

La fonction $e^x$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $(e^x)’= e^x$ et $e^0=1$:

On a aussi : 

$e^x>0$

$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} e^x= +\infty$

$e^1 =e \approx 2,71$

La fonction exponentielle a une dérivée strictement positive donc elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

variation_exponentielle

 

Représentation graphique de la fonction exponentielle

 

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Fonction exponentielle : propriétés algébriques

La fonction exponentielle, propriétés algébriques.

 

Définition

La fonction \(f(x)=exp(x)\) est l’unique fonction définie par :

\(f'(x) = f(x)\)

\(f(0) = 1\)

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On la note : $exp(x)$= $e^x$

 

Propriétés algébriques :

Pour tous réels \(x\) et \(y\)

    • \(e^{x+y}=e^x \times e^y\)
    • \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}\)
    • \(e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}\)
    • \((e^x)^n=e^{nx}\) avec n appartenant à \(\mathbb{Z}\)
    • Pour tout réel \(x\), \(\ln e^x=x\)
    • Pour tout réel \(x>0 \), \(e^{\ln x}=x\)

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