Cours Stage - Modélisation : croissance et décroissance exponentielle

Exercice – Modélisation : croissance et décroissance exponentielle

L'énoncé

A 6h, Lucas prend son petit déjeuner sur la terrasse de sa maison. Il oublie son yaourt sur la table, au soleil. 

On sait que le yaourt contient au départ 500 bactéries.

En 30 min, le nombre de bactéries est passé de $500$ à $500\times e$ !

Cette évolution du nombre de bactéries en fonction de $t$, la durée en heures peut être représentée par expression de la forme $f(t)=ae^{bt}$, on cherche à déterminer $a$ et $b$.


Question 1

Déterminer $a$ et $b$.

$a$ est le nombre de bactéries initiales donc $a = 500$.

On vérifie que $f(0)=a=500$

Notons que $30$ min $=0,5$h.

On a : $f(0,5)=500\times e$ .  Or $f(0,5)=500 \times e^{b\times 0,5}$

On en déduit que $e^{b\times 0,5}=e^1$

Ou encore $b\times 0,5=1$

Finalement $b=2$

Il faut bien lire l'énoncé pour sortir chaque information recherchée. 

Question 2

En déduire l’expression de la fonction $f(t)$.

$f(t)$ est du type $ae^{bt}$ avec $a=500$ et $b=2$.

$f(t) = 500\times e^{2t}$.

Question 3

Quel sera le nombre de bactéries au bout de deux heures 30 minutes.

Arrondir à l'unité.

2h 30 minutes vaut 2,5 heures.

$f(2,5) = 500\times e^{2\times 2,5}$.

$f(2,5) \approx 74207$.

Il y aura environ $74207$ bactéries au bout de deux heures 30 minutes.

Calculer $f(2,5)$

Question 4

Combien de bactéries seront présentes dans le yaourt quand Lucas rentrera du travail à 18h ? Donner le nombre sous son écriture scientifique.

De 6h à 18h, on compte 12 heures.  

$f(12) = 500\times 2^{2\times 12} = 1,32.10^{13}$bactéries.

Il faut connaitre le nombre d'heures où le yaourt a été laissé sur la table au soleil. Puis, il faut utiliser la fonction pour déterminer le nombre de bactéries. 

Question 5

Une nouvelle norme sanitaire a été émise et on sait que le yaourt devient impropre à la consommation s’il contient plus de 5 millions de bactéries. Lucas pourra-t-il manger son yaourt quand même après sa journée de travail ?

Non ! Surtout pas ! A moins de vouloir être malade ;).

En effet, 5 millions s’écrit en écriture scientifique $5.10^{6}$.

Ici, il y a $1,32.10^{13}$ bactéries, ce qui est largement au-dessus du seuil !