Cours Déterminer un seuil : ln(qn)=nlnqln(qn)=nlnqln(q^n)=n lnq
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L'énoncé

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Question 1

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $3^n \geq 75$. 

$n \geq \dfrac{75}{\ln(3)}$

$n \geq \dfrac{\ln(75)}{\ln(3)}$

$n \geq 4$

En effet, soit $n \in \mathbb{N}$,
$3^n \geq 75$
$\iff n \ln 3 \geq \ln 75$ car la fonction logarithme est croissante
$\iff n \geq \dfrac{\ln 75}{\ln 3}$ car $\ln 3 > 0$
Or $ \dfrac{\ln 75}{\ln 3} \approx 3.93$
Donc $n \geq 4$ car $n$ est un entier naturel. 

On appliquera la fonction logarithme à l'inégalité en faisant attention aux signes.

Question 2

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $60-2^n \geq 8$. 

$\dfrac{60}{\ln 2} \geq n$

$5 \geq n$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$60-2^n \geq 8$
$\iff 52 \geq 2^n$
$ \iff \ln 52 \geq n \ln 2$
$ \iff \dfrac{\ln 52}{\ln 2} \geq n$
Or $\dfrac{\ln 52}{\ln 2} \approx 5.70$ et $n \in \mathbb{N}$,
Donc $n \leq 5$ car on cherche le premier entier plus petit que $5.70$

$6 \leq n$

On appliquera la méthode du cours. 

Question 3

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $0.5^n \leq 0.05$. 

$n \leq 4$

$n \geq 5$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$0.5^n \leq 0.05$
$\iff n \ln 0.5 \leq \ln 0.05$
Or $0.5 < 1$ donc $\ln(0.5)<0$
Ainsi, $0.5^n \leq 0.05$
$\iff n \geq \dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.05}$
Or $\dfrac{\ln 0.5}{\ln 0.05} \approx 4.32$ et $n \in \mathbb{N}$.
Finalement, $0.5^n \leq 0.05 \iff n \geq 5$ 

$n = \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.5}$

On appliquera la méthode du cours, en faisant attention aux signes lors des divisions. 

Question 4

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $3^n \geq 729$. 

$n \leq 5$

$n \geq 7$

$n \geq 6$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$3^n \geq 729$
$\iff n \ln 3 \geq \ln 729$
$\iff n \geq \dfrac{\ln 729}{\ln 3}$
Or $\dfrac{\ln 729}{\ln 3} = 6$
Finalement, $3^n \geq 729 \iff n \geq 6$
On pourra en outre vérifier que $3^6 = 729$

On utilisera à nouveau la relation $\ln a^n = n \ln a$

Question 5

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $1-0.3^n \geq 0.95$. 

Cette inégalité est vrai pour tout entier naturel $n$

Revient à déterminer $n$ tels que $0.05 \geq 0.3^n$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$1-0.3^n \geq 0.95$
$\iff 1-0.95 \geq 0.3^n$
$\iff 0.05 \geq 0.3^n$

$n \geq 3$

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$1-0.3^n \geq 0.95$
$\iff 1-0.95 \geq 0.3^n$
$\iff 0.05 \geq 0.3^n$
$\iff \ln 0.05 \geq n \ln 0.3$
$\iff \dfrac{\ln0.05}{\ln 0.3} \leq n$ car $0.3 < 1$
Or $\dfrac{\ln0.05}{\ln 0.3} \approx 2.49$
Donc $1-0.3^n \geq 0.95 \iff n \geq 3$

On appliquera à nouveau la méthode du cours