Cours Fonction de répartition
QCM
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L'énoncé

Cocher la bonne réponse.


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Question 1

Comment définit-on la fonction de répartition de la variable $X$ sur $[a; b]$ ?

$F(x) = P(X \leq x)$

C'est la bonne définition.

$F(x) = P(X \geq x)$

$f(x) = P(X \leq x)$

$f$ est la loi de densité de la variable aléatoire $X$.

Question 2

A quoi correspond $f$ ? 

A une fonction quelconque

C'est une autre notation pour la variable aléatoire $X$.

C'est la loi de densité de $X$ sur $[a; b]$

C'est la bonne réponse !

Question 3

Que vaut aussi $P(X \leq x)$ ?

$P(b \leq X \leq x)$

$P(a \leq X \leq x)$

En effet, $X$ prend des valeurs dans l'intervalle $[a; b]$ et est donc toujours supérieure à $a$.

$P(0 \leq X \leq x)$

Question 4

A quoi correspond une probabilité dans le cadre des lois à densité ? 

A une dérivée 

A une ellipse 

A une intégrale 

En effet $P(a < X \leq x) = \displaystyle \int_a^x f(t) dt$

Question 5

Que vaut $P(a < X \leq x)$ ?

$ \displaystyle \int_a^x F(t) dt$

$\displaystyle \int_a^x f(t) dt$

C'est la bonne réponse ! 

$\displaystyle \int_a^x f(x) dx$

Attention, ici on utilise la même variable pour désigner la borne d'intégration et la variable d'intégration : ce n'est pas possible !

Question 6

Géométriquement, à quoi correspond $F(x)$ ? 

A une longueur

A une aire

En effet, une intégrale correspond à une aire

A un volume

Question 7

$F(x)$ est donc l'aire entre 

la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $x$.

C'est la bonne réponse ! 

la courbe de $F$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $x$.

la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $b$.

Question 8

Pourquoi ne peut-on pas écrire $F(x) = \int_a^x f(x) dx$ ?

On peut tout à fait l'écrire ! 

Car $f$ n'existe pas

Car la variable à la borne est la même que la variable d'intégration

En effet la variable d'intégration, bien que muette, ne peut pas avoir le même nom que la variable de la fonction de répartition.
Ainsi, on peut écrire $F(x) = \int_a^x f(t) dt  = \int_a^x f(u) du  = \int_a^x f(y) dy$

Question 9

A quoi peut-on assimiler le calcul de la fonction de répartition ?

A un calcul de primitive 

En effet, cela revient à trouver une primitive de $f$. 

A un calcul de dérivée

A un calcul impossible à faire.

Question 10

Que vaut $F(x)$ si $f(t) = \dfrac{1}{2}x$ sur $[0; 2]$ ?

$F(x) = \dfrac{x^2}{2}$

$F(x) = \dfrac{x^2}{4}$

C'est la bonne réponse ! On pourra revoir l'exemple de la vidéo au besoin.

$F(x) = \dfrac{x^2-a^2}{4}$