Cours Stage - loi géométrique

Exercice - Loi géométrique

L'énoncé

- Répondre aux questions suivantes 


Question 1

Dans une population de mouches, le caractère oeil blanc apparait avec une fréquence de 0,15. 
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de mouches observées avant de trouver une mouche aux yeux blancs. 
Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on donnera son paramètre. 

$X$ donne le nombre de mouches observées nécessaires pour obtenir un succès "trouver une mouche aux yeux blancs" de probabilité $p=0.15$, lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli (observation d'un mouche). 
Ainsi $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p=0.15$

On regardera la vidéo du cours pour la justification. 

Question 2

Donner la probabilité que la $10$ème mouche observée soit la première aux yeux blancs. 

La probabilité que la $10$ème mouche observée soit la première aux yeux blancs revient à calculer $P(X = 10) = 0.15 \times (1 - 0.15)^{10-1} =0.15 \times 0.85^9 = 3.47 \times 10^{-2}$

On utilisera la forme $P(X = k)= p(1-p)^{k-1}$

Question 3

Montrer que la probabilité qu'il faille observer au maximum $10$ mouches pour obtenir une mouche aux yeux blancs est 0,80. 

On veut calculer la probabilité qu'il faille observer au maximum $10$ mouches pour obtenir une mouche aux yeux blancs, on veut donc calculer $P(X \leq 10)$.
$P(X \leq 10) = P(X =1) + P(X = 2) + ... + P(X = 10) = 0.80$

Montrer que cela revient à calculer $P(X \leq 10)$. 

Question 4

Combien de mouches doit-on observer en moyenne pour obtenir une mouche aux yeux blancs ? 

Le nombre moyen de mouches à observer correspond à l'espérance de la variable $X$.
$E(X) = \dfrac{1}{0.15} = \dfrac{20}{3} \approx 6.67$. 
Il faut donc observer 7 mouches pour voir une mouche aux yeux blancs. 

On pourra calculer l'espérance de $X$. 

Question 5

Montrer que $0.15 + 0.15 \times 0.85 + 0.15 \times 0.85^2 + ... + 0.15 \times 0.85^{n-1} =1-0.85^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
$0.15 + 0.15 \times 0.85 + 0.15 \times 0.85^2 + ... + 0.15 \times 0.85^{n-1}$
$= 0.15 ( 1 + 0.85 + 0.85^2 + ... + 0.85^{n-1})$
$= 0.15 \times \dfrac{1-0.85^n}{1-0.85}$
$=1 - 0.85^n$

On utilisera la formule $1 + q+ q^2 + ... + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Question 6

Montrer que $1 - 0.85^n \geq 0.95 \iff n \geq 19$ pour $n \in \mathbb{N}^*$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
$1 - 0.85^n \geq 0.95$
$\iff -0.85^n \geq -0.05$
$\iff 0.85^n \leq 0.05$
$\iff n \ln 0.85 \leq \ln 0.05$
$\iff n \geq \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.85 }$
Or $\dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.85 } \approx 18.43$ et $n$ est un entier naturel.
Donc $1 - 0.85^n \geq 0.95 \iff n \geq 19$

On raisonnera par équivalence. 

Question 7

En déduire le nombre d'observation minimal pour que la probabilité d'obtenir au moins une mouche aux yeux blancs soit supérieure $0.95$

On cherche un entier naturel $n$ tel que $P(X \leq n) \geq 0.95$.
Or $P(X \leq n) = 0.15 + 0.15 \times 0.85 + 0.15 \times 0.85^2 + ... + 0.15 \times 0.85^{n-1} = 1 - 0.85^n$.
En outre, $1 - 0.85^n \geq 0.95 \iff n \geq 19$.
Finalement, il faut faire au moins $19$ observations pour que la probabilité d'obtenir une mouche blanche soit supérieure à 0.95

On résoudra l'inéquation $P(X \leq n) \geq 0.95$