Cours Limites de suites
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L'énoncé

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Question 1

Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} \left (2 -  \dfrac{1}{n} \right ) \left (3 +  \dfrac{580}{n^2} \right ) $ ?

0

2

6

En effet $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ donc $\lim \limits_{n \to +\infty}\left (2 -  \dfrac{1}{n} \right ) = 2 - 0 = 2$ par somme de limites.
En outre $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$ donc $\lim \limits_{n \to +\infty}\left (3 +  \dfrac{580}{n^2} \right ) = 3 + 580 \times 0 = 3$ par somme et produit de limites.
Finalement, $\lim \limits_{n \to +\infty} \left (2 -  \dfrac{1}{n} \right ) \left (3 +  \dfrac{580}{n^2} \right ) = 2 \times 3 = 6$ par produit de limites.

On commencera par déterminer $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}$ et $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} $

Question 2

Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{\sqrt{n}}$ ? 

0

$+\infty$

En effet, on peut tout d'abord remarquer que $n = (\sqrt{n})^2$.
Ainsi, $\dfrac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$.
Ainsi, $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{\sqrt{n}} = \lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

On ne peut pas savoir 

Question 3

En sachant que $n \geq \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, que peut-on conclure sur $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ?

On ne peut pas savoir

En effet, on ne peut pas appliquer le théorème de comparaison car il faut trouver un minorant de $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ qui tend vers $+\infty$

$\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$

$\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = +\infty$

Quelles conditions doivent être remplies pour pouvoir appliquer le théorème de comparaison ? 

Question 4

En sachant que $ \sqrt{n} \leq \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, que peut-on conclure sur $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ?

$\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$

$\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = +\infty$

En effet $\lim \limits_{n \to + \infty} \sqrt{n} = + \infty$ et comme $ \sqrt{n} \leq \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, d'après le théorème de comparaison, $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = +\infty$.

On ne peut rien conclure

On pourra se demander si on peut appliquer ici le théorème de comparaison.

Question 5

Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2 + 1}$ ?

0

En effet soit $n \in \mathbb{N}$,
$-1 \leq (-1)^n \leq 1$.
Ainsi, $\dfrac{-1}{n^2+1} \leq \dfrac{(-1)^n}{n^2+1} \leq \dfrac{1}{n^2+1} $.
Or $\lim \limits_{n \to + \infty} n^2 = +\infty$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} 1 = 1$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} n^2 + 1 = +\infty$ par somme de limites.
En outre, $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n^2 +1} = \lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{-1}{n^2 +1} = 0$ par quotient de limites. 
Finalement, d'après le théorème des gendarmes, $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2+1} = 0$

Sa limite vaut $-1$ ou $1$.

On ne peut pas savoir.

On essayera d'appliquer le théorème des gendarmes.