Cours Stage - limites de suites
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{3}{n}$ ?

3

0

En effet $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} \dfrac{3}{n} = \lim \limits_{n \to + \infty} 3 \times \dfrac{1}{n} = 3 \times 0 = 0$

$+ \infty$

Question 2

Peut-on toujours calculer une limite à l'aide des opérations ?

Oui

Non

En effet, il n'est pas toujours possible de calculer directement une limite en utilisant les opérations : ce sont les formes indéterminées comme par exemples $\lim \limits_{n \to +\infty} n^2 - n$

Question 3

Que dit le théorème de comparaison ? 

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = + \infty$

En effet, comme $(u_n)$ tend vers $+ \infty$ et que $v_n$ est plus grande que $u_n$ à partir d'un certain rang, alors $(v_n)$ tend vers $+ \infty$ aussi

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = + \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty$

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \geq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = + \infty$

Question 4

Quel autre énoncé du théorème de comparaison est vrai ? 

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = + \infty$

C'est le même que précédemment ...

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = - \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = - \infty$

C'est le bon énoncé !

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} u_n = - \infty$ alors $\lim \limits_{n \to + \infty} v_n = - \infty$

Question 5

On suppose que l'on a montré que $n^2 - n \geq (n - 1)^2$ pour $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 1$. Que peut on en conclure sur $ \lim \limits_{n \to +\infty} n^2 - n $ ?

Rien, car $n^2 - n $ est une forme indéterminée.

$ \lim \limits_{n \to  +\infty} n^2 - n = 0 $

$ \lim \limits_{n \to  +\infty} n^2 - n = + \infty $

En effet, $\lim \limits_{n \to + \infty} (n-1)^2 = + \infty$, or $n^2 - n \geq (n - 1)^2$ pour $n \geq 1$, d'après le théorème de comparaison; il en résulte que  $ \lim \limits_{n \to +\infty} n^2 - n = + \infty $

Question 6

Que dit le théorème des gendarmes ? 

Si à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = \lim \limits_{n \to +\infty} v_n = l$ alors $\lim \limits_{n \to +\infty} w_n = l$

Si à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = \lim \limits_{n \to +\infty} w_n = l$ alors $\lim \limits_{n \to +\infty} v_n = l$

En effet, le théorème permet de connaitre uniquement le comportement de la suite encadrée par deux suites convergentes vers la même limite.

Si à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim \limits_{n \to +\infty} w_n = \lim \limits_{n \to +\infty} v_n = l$ alors $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = l$

Question 7

Pourquoi utiliser le terme gendarmes dans le nom du théorème ? 

Pour leur rendre hommage.

Car le mathématicien à l'origine du théorème était aussi biologiste et s'intéressait aux insectes gendarmes.

Car les gendarmes encadrent les convois.

En effet, c'est l'idée de l'encadrement qui explique l'appellation gendarme. 

Question 8

On suppose qu'à partir d'un certain rang $\dfrac{-1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$ que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n $ ? 

On ne peut pas savoir 

$\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 0$

En effet, $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n} = \lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$, d'après le théorème des gendarmes $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 0$

$\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 1$

Question 9

On suppose qu'à partir d'un certain rang $\dfrac{-1}{n} -1 \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$ que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n $ ? 

$\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = 0$

$\lim \limits_{n \to +\infty} u_n = -1$

On ne peut pas savoir

En effet, les suites encadrantes n'ont pas les mêmes limites, on ne peut donc pas appliquer le théorème des gendarmes. 

Question 10

Que vaut $\lim \limits_{n \to + \infty} -n^2 + 4$ ?

$+ \infty$

$- \infty$

En effet, $\lim \limits_{n \to + \infty} -n^2 = - \infty$ et $\lim \limits_{n \to + \infty} 4 = 4$ donc $\lim \limits_{n \to + \infty} -n^2 + 4 = - \infty + 4 = - \infty$ 

$4$