Cours Stage - suites arithmético-géométriques

Suites arithmético géométriques

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Suites arithmético-géométriques 

 

Définition :


Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe $a, b$ réels tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$u_{n+1} = au_n + b$.

On donne la méthode générale pour déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. Dans les exercices, les questions devraient guider à la résolution du problème. 

 

Méthode

 

1) On reconnait $a$ et $b$ dans $u_{n+1} = au_n + b$ et on résout $l = al + b$.

2) On montre que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - l$ est une suite géométrique $(v_{n+1} = q \times v_n)$ et on détermine $v_0$.

3) On exprime $v_n$ en fonction de $n$ ($v_n = v_0 \times q^n$) puis $u_n$ en fonction de $n$ ($u_n = v_0\times q^n + l$)

 

Exemple : 

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3u_n -6$

On souhaite déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

$(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique avec $a = 3$ et $b = -6$.

On résout l'équation $l = 3l - 6$

$l = 3l - 6 \iff -2l = - 6 \iff l = 3$

On pose $v_n = u_n - 3$ pour tout entier naturel

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.