Cours Matrices et systèmes linéaires
Exercice d'application

Exercice : Matrices

Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On dénombre 116 têtes et 320 pattes. Combien y-a-t-il de lapins et de poules ?

1) On note $x$ le nombre de lapins et $y$ le nombre de poules. Mettre le problème sous forme de systèmes d'équations.

2) Montrer que l'on peut écrire ce système d'équations sous forme matricielle tel que $AX=B$, avec :

$X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

 

Expliciter $A$ et $B$.

3) Résoudre le système $AX=B$ avec :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 116 \\ 320 \end{pmatrix}$

1) Soit $x$ le nombre de lapins, et $y$ le nombre de poules. Le nombre de têtes est de 116, donc on a l'égalité : $x+y=116$. Le nombre de pattes est de 320, donc on a l'égalité $4x+2y=320$. On obtient donc le système :

$\begin{cases} x+y=116 \\ 4x+2y=320  \end{cases}$

 

2) On peut écrire ce système sous forme matricielle tel que $AX=B$, avec :

$A=  \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ ; $B=  \begin{pmatrix} 116 \\ 320 \end{pmatrix}$ et $X=  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

 

3) Il faut d'abord vérifier que $A$ est une matrice inversible, ce qui est le cas puisque son déterminant est non nul. Dans ce cas, on a : $X=A^{-1}B$, et l'on peut résoudre facilement le problème à l'aide d'un calcul matriciel.

On inverse donc $A$, on trouve :

$A^{-1}=  \begin{pmatrix} -1 & 0,5 \\ 2 & -0,5 \end{pmatrix}$

       On effectue le calcul et on trouve: 

$A^{-1} B=  \begin{pmatrix} -1 & 0,5 \\ 2 & -0,5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 116 \\ 320 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$  

       On a donc $x=44$ et $y=72$. Nous avons donc 44 lapins et 72 poules.