Cours Stage - Modules et arguments

Propriétés des modules et arguments

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Propriétés des modules et arguments

 

Module

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes (avec $z'$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$\bullet $ $|z\times z'|=|z|\times |z'| $

 

$\bullet $ $ |z^n|=|z|^n$ pour $n\in \mathbb{N}$

 

$\bullet$ $\left| \dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ si $z'\neq 0$

 

$\bullet$ $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$

 


Argument

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes (avec $z'$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

$\bullet $ $ arg(z\times z')=arg(z)+arg(z') ~ [2\pi]$

 

$\bullet $ $ arg(z^n)=n\times arg(z) ~ [2\pi]$ pour $n\in \mathbb{N}$

 

$\bullet$ $ arg\bigg(\dfrac{z}{z'}\bigg) = arg(z)-arg(z') ~ [2\pi]$

 

Exemple

Soient $a=1+i$ et $b=2i$ deux nombres complexes.

Calculer le module de $a^4$ ainsi qu'un argument de $\dfrac{a}{b}$.

 

D'après les propriétés du module on a : $|a^4|=|a|^4$ donc on calcule $|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.

Finalement : $|a^4|=|a|^4=\sqrt2^4= 4$.

D'après les propriétés des arguments, on a : $arg\left(\dfrac{a}{b} \right)= arg(a)-arg(b)~ [2\pi]$.

Ici, on a : $a={\sqrt2}\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.