Exercice : modules et arguments

Posons : $z_1 = (1+i)$

On a : $\mid z_1 \mid = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$

Notons $\theta = arg (z_1)[2 \pi]$

$\cos \theta = \dfrac {x}{\mid z\mid} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\sin \theta = \dfrac{y}{\mid z \mid} = \dfrac {1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$

On en déduit que $\theta = \dfrac{\pi}{4}[2\pi]$

Ainsi :

$\mid Z_1 \mid  = (\sqrt2)^4=4$

D'autre part,

$arg (Z_1)=arg (z_1)^4 \ [2\pi]$

$arg (Z_1)=4\times arg (z_1) \ [2\pi]$

$arg (Z_1)=\pi \ [2\pi]$

$Z_2 = \dfrac{3}{4} +\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$

$\mid Z_2\mid=\left\lvert \dfrac{3}{4} + \dfrac {\sqrt3}{4}i\right\lvert$ 

$\mid Z_2\mid= $\sqrt{\left( {\dfrac{3}{4}}\right) ^2 +\left( {\dfrac{\sqrt3}{4}}\right) ^2}$

$\mid Z_2\mid= \sqrt {\dfrac{12}{16}} $

$\mid Z_2\mid= \sqrt{\dfrac{3}{4}} $

$\mid Z_2\mid= \dfrac{\sqrt3}{2}$

Notons $\theta = arg(Z_2)=arg\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4} i}\right) [2\pi]$

$\cos\theta = \dfrac {x}{\mid z \mid} = \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{3}{2\sqrt3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta =\dfrac{y}{\mid z \mid} = \dfrac{\frac{\sqrt3}{4}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{1}{2}$

On en déduit que : $arg(Z_2)= \dfrac{\pi}{6}[2\pi]$

Il n'est pas nécessaire de faire des calculs ici.

Le point d'affixe $-2i$ est sur l'axe des ordonnées donc

$\mid Z_3\mid=2$

$arg(Z_3)= -\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$

Il n'est pas nécessaire de faire des calculs ici.

Le point d'affixe $5$ est sur l'axe des abscisses donc :

$\mid Z_4\mid=5$

$arg(Z_4)= 0\ [2\pi]$

Il n'est pas nécessaire de faire des calculs ici.

Le point d'affixe $-15$ est sur l'axe des abscisses donc :

$\mid Z_5\mid=15$

$arg(Z_5)= \pi\ [2\pi]$