Cours Stage - Formules d'Euler

Formules d'Euler

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Fiche de cours

Formules d'Euler 

 

Propriétés :


Soit $\theta \in \mathbb{R}$,

  • $\cos(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
  • $\sin(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

 

Démonstration :


On admet la propriété suivante :

Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$.

On peut alors écrire que

$e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}} = \cos(\theta) - i \sin(\theta)$.

Ainsi, en additionnant les deux égalités on obtient :

$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos(\theta)$.

De même, en soustrayant la deuxième à la première on aboutit à :

$e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \sin(\theta)$.

On remarquera la présence du $i$ dans la formule du sinus au dénominateur.

 

Application

 

On se propose de résoudre un exercice d'application, difficile, faisant appel à une technique que l'on pourra réinvestir dans de futurs exercices.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

Calculons $\mathcal{S}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k\theta) = 1 + \cos(\theta) + \cos(2\theta) + ...  + \cos(n\theta)$.


L'idée, qui devrait être donnée, consiste à utiliser une nouvelle somme $\mathcal{T}_

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