Cours Stage - Formules d'Euler
QCM
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L'énoncé

Cocher la bonne réponse.


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Question 1

Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} =$

$\cos(\theta)$

$\cos(i\theta) + \sin(i\theta)$

$\cos(\theta) + i\sin(\theta)$

C'est une définition

Question 2

Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$\cos(\theta) = $

$\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$

$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

En effet, 
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$
$e^{-i\theta} = \cos(\theta)-i\sin(\theta)$
Donc $2\cos(\theta)=e^{i\theta}+e^{-i\theta}$

$e^{i\theta}+e^{-i\theta}$

Question 3

Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$\sin(\theta) = $

$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}$

$\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

En effet, 
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$
$e^{-i\theta} = \cos(\theta)-i\sin(\theta)$
Donc $2i\sin(\theta)=e^{i\theta}-e^{-i\theta}$

Question 4

Comment appelle-t-on la correspondance écriture trigonométrique et écriture exponentielle ? 

Les formules d'Euler

Les formules de l'heure

Les formules de Leur. 

Question 5

Comment calcule t on dans la vidéo la somme : 
$S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta)$ ? 

Par récurrence 

En utilisant une autre suite

On pose $T_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(k \theta)$.
Cela permet alors d'écrire :
$S_n + i T_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta) + i \sin(k \theta) = \displaystyle \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}$

En utilisant le fait que $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2$

Question 6

Que faut-il vérifier lorsque l'on calcule la suite $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta)$ ? 

Il faut vérifier que $\theta \neq 0$

Il faut vérifier que $\theta \neq 0 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Dans ce cas, cela revient à sommer des $1$ donc la somme vaut $n + 1$

Il faut vérifier que $\theta \in \mathbb{Z}$. 

Question 7

Quelle technique est utilisée pour pour trouver la partie réelle de $\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right )}^k$ ? 

On factorise par l'argument moitié 

Il s'agit d'une technique couramment utilisée. 

On reconnait une identité remarquable 

On impose à $\theta$ des valeurs particulières

Question 8

A quoi est égale $\mathcal{Re}\left (e^{i n\frac{\theta}{2}} \right )$

$\cos \left ( i n\frac{\theta}{2} \right )$

$\cos \left ( n \theta \right )$

$\cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$

En effet, 

$e^{i n\frac{\theta}{2}} = \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) + i \sin \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$ par définition,

donc $\mathcal{Re}\left (e^{i n\frac{\theta}{2}} \right ) = \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$

Question 9

Donner $\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{ \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) \sin \left ( ( n + 1) \frac{\theta}{2} \right )}{\sin \left (  \frac{\theta}{2} \right )}$

$0$

$n + 1$

On sait que $S_n  = \dfrac{ \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) \sin \left ( ( n + 1) \frac{\theta}{2} \right )}{\sin \left (  \frac{\theta}{2} \right )}$. 
Or si on considère $S_n$ comme une fonction de $\theta$ alors $S_n$ est continue. 
Si on fait tendre $\theta$ vers 0 dans l'expression originale, on a montré que cela revenait à calculer une somme de 1, d'où le résultat. 

On ne peut pas savoir

Question 10

Comment calcule-t-on $\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right )}^k$ ? 

En reconnaissant une série particulière 

Il s'agit d'une série géométrique de raison $e^{i\theta}$

En utilisant le fait que $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$

Par récurrence