Cours Stage - Formules d'Euler

Exercice - Formules d'Euler

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes 


Question 1

Rappeler la formule du binôme de Newton. 

Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ et $n \in \mathbb{N}$,
Alors $(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^k b^{n-k}$

On pourra se référer à la vidéo traitant le sujet. 

Question 2

Rappeler puis démontrer les formules d'Euler.

On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ ou encore $e^{-ix} = \overline{e^{ix}} = \overline{\cos(x) + i \sin(x)} = \cos(x) - i \sin(x)$
En sommant les deux égalités on obtient :
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x)$ que l'on réécrit sous la forme : $\cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$.
De même, en soustrayant la première et la deuxième on aboutit à:
$e^{ix} - e^{-ix} = 2i \sin(x)$ c'est à dire $\sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$.

On supposera connue la formule :
pour tout $x \in \mathbb{R}$
$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$. 

Question 3

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a, b) \in \mathbb{R}^2$
Calculer la somme suivante 
$\displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \cos(a + kb)$

Soit $x \in \mathbb{R}$,
On sait que $\cos(x) = \mathcal{Re}\left ( e^{ix} \right )$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a, b) \in \mathbb{R}^2$
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \cos(a + kb) &=& \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) \mathcal{Re}\left ( e^{i(a+kb)} \right ) \\ &=&\mathcal{Re}\left ( \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  e^{i(a+kb)} \right ) \\ &=& \mathcal{Re}\left (e^{ia} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  e^{ikb} \right ) \\ &=& \mathcal{Re}\left (e^{ia} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \left (e^{ib} \right )^k \right )\\ &=& \mathcal{Re}\left (e^{ia} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \left (e^{ib} \right )^k 1^{n-k} \right )  \end{align}$.
On reconnait alors le développement de la formule du binôme de Newton : 
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \cos(a + kb)  &=& \mathcal{Re}\left (e^{ia}\left (1 + e^{ib}\right)^n \right )  \end{align}$
On utilise alors la technique de l'argument moitié. 
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \cos(a + kb) &=& \mathcal{Re}\left (e^{ia}\left (e^{i\frac{b}{2}} \left [ e^{-i\frac{b}{2}}+ e^{i\frac{b}{2}} \right ]\right)^n \right ) \\ &=& \mathcal{Re}\left (e^{i \left ( a + \frac{nb}{2} \right)} \left [ e^{-i\frac{b}{2}}+ e^{i\frac{b}{2}} \right ]^n \right )\end{align}$
On sait en outre, d'après les formules d'Euler que $2\cos(x) = e^{ix}+e^{-ix}$.
Ainsi,
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )  \cos(a + kb) &=& 2^n \mathcal{Re}\left (e^{i \left ( a + \frac{nb}{2} \right)} \cos^n\left ( \frac{b}{2} \right ) \right ) \\ &=&2^n \cos\left (a + \frac{bn}{2} \right )  \cos^n\left ( \frac{b}{2} \right ) \end{align}$ 

On utilisera le fait que pour tout $x \in \mathbb{R}, \; \cos(x) = \mathcal{Re}\left ( e^{ix} \right)$. 


On pourra aussi utiliser les deux premières questions. 

Question 4

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Calculer $\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx}$ avec $x = 2k\pi$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Si $x = 2k\pi$ alors $\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx} = \displaystyle \sum_{T=-n}^n 1 = 2n + 1 $

Que vaut $e^{0}$ ? 

Question 5

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Soit $x \in \mathbb{R}$,
Calculer $\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx}$ avec $x \neq 2k\pi$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Soit $x \in \mathbb{R}$, avec $x \neq 2k\pi$.
$\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx} = e^{-inx} \displaystyle \sum_{T=0}^{2n} e^{iTx} = e^{-inx} \displaystyle \sum_{T=0}^{2n}\left (e^{ix} \right )^T = e^{-inx} \dfrac{1 - e^{i(2n+1)x}}{1- e^{ix}}$. On utilise ici le fait que la raison est différente de $1$ car $x \neq 2k\pi$. 
Ainsi, $\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx} = \dfrac{e^{-inx} - e^{i(n+1)x}}{1- e^{ix}}$.
On factorise alors au numérateur et au dénominateur par $e^{i\frac{x}{2}}$:
$\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx} =\dfrac{e^{i\frac{x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}}\times \dfrac{e^{-i\left(n + \frac{1}{2}\right)x} - e^{i\left(n + \frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}- e^{i\frac{x}{2}}}$.
On utilise alors la formule d'Euler pour la fonction sinus :
$\displaystyle \sum_{T=-n}^n e^{iTx} = \dfrac{\sin\left (\left(n + \frac{1}{2}\right)x \right )}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )}$

On pourra reconnaitre une somme d'une suite géométrique dont on identifiera la raison.

Question 6

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On pose $S_U = \displaystyle \sum_{T=-U}^U e^{iTx}$ avec $x \neq 2k\pi$ et $U \in \mathbb{N}$
Calculer $\displaystyle \sum_{U=0}^n S_U$ avec $x \neq 2k\pi$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$
Soit $k \in \mathbb{Z}$,
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On veut calculer $\displaystyle \sum_{U=0}^n S_U$ avec $x \neq 2k\pi$ c'est à dire $\displaystyle \sum_{U=0}^n \dfrac{\sin\left (\left(U + \frac{1}{2}\right)x \right )}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )}$.
On utilise pour cela que pour tout $y \in \mathbb{R}, \; \sin(y) = \mathcal{Im}\left ( e^{iy} \right)$.
Ainsi, 
$\begin{align}\displaystyle \sum_{U=0}^n \dfrac{\sin\left (\left(U + \frac{1}{2}\right)x \right )}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} &=& \displaystyle \sum_{U=0}^n \dfrac{\mathcal{Im}\left ( e^{i\left(U + \frac{1}{2}\right)x } \right ) }{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} \\ &=& \dfrac{1}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} \mathcal{Im}\left (e^{i\frac{x}{2}} \displaystyle \sum_{U=0}^n e^{iUx} \right ) \\ &=& \dfrac{1}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} \mathcal{Im}\left (e^{i\frac{x}{2}} \dfrac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}} \right ) \end{align}$
On factorise alors par l'argument moitié.
$\displaystyle \sum_{U=0}^n \dfrac{\sin\left (\left(U + \frac{1}{2}\right)x \right )}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} = \dfrac{1}{\sin\left ( \frac{x}{2} \right )} \mathcal{Im}\left ( e^{i\frac{x}{2}} \times \dfrac{e^{i(n+1)\frac{x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}} \dfrac{\sin \left( (n+1)\frac{x}{2} \right )  }{\sin \left( \frac{x}{2} \right ) } \right )$.
Finalement, $\displaystyle \sum_{U=0}^n S_U = \dfrac{\sin^2 \left( (n+1)\frac{x}{2} \right )  }{\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right ) }$

On pourra utiliser pour cela que pour tout $y \in \mathbb{R}, \; \sin(y) = \mathcal{Im}\left ( e^{iy} \right)$.