Cours Stage - Formule de Moivre

Application de la formule de Moivre

L'énoncé

Le but de cet exercice est de vérifier que vous savez appliquer les règles de Moivre.


Question 1

Rappelez la formule de Moivre.

La formule de Moivre est : $(cos(x)+i.sin(x))^n=cos(nx)+i.sin(nx)$

 

Question 2

Rappelez ce que vaut : $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (cos(k\theta)+i.sin(k\theta))$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (cos(k\theta)+i.sin(k\theta))=\displaystyle\sum_{k=1}^{10} e^{ik\theta}=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(e^{i\theta})^k$

On a donc une somme géométrique:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (cos(k\theta)+i.sin(k\theta))=e^{i\theta}\frac{1-(e^{i\theta})^{10}}{1-e^{i\theta}}$

 

Passez par la forme exponentielle.

Question 3

Calculer $S=cos(\frac{\pi}{7})+cos(\frac{2\pi}{7})+cos(3\frac{\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})+cos(\frac{7\pi}{7})$.

S correspond à la partie réelle de $Z=\displaystyle\sum_{k=1}^7(cos(\frac{k\pi}{7})+i.sin(\frac{k\pi}{7}))$

Donc $S=Re(Z)=Re(e^{\frac{i\pi}{7}}\frac{1-(e^{\frac{i\pi}{7}})^7}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}})$

Développons Z:

$e^{\frac{i\pi}{7}}\frac{1-(e^{\frac{i\pi}{7}})^7}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}}=\frac{e^{\frac{i\pi}{7}}-e^{i(\frac{\pi}{7}+\pi)}}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}}$

Or $e^{i(\frac{\pi}{7}+\pi)}=cos(\frac{\pi}{7}+\pi)+i.sin(\frac{\pi}{7}+\pi)=-cos(\frac{\pi}{7})-i.sin(\frac{\pi}{7})=-e^{i\frac{\pi}{7}}$

On a donc $Z=\frac{2e^{\frac{i\pi}{7}}}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}}$

Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie en haut et en bas par sa quantité conjuquée:

$Z=\frac{2e^{\frac{i\pi}{7}}}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}}=\frac{2e^{\frac{i\pi}{7}}}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}}\frac{1-e^{\frac{-i\pi}{7}}}{1-e^{\frac{-i\pi}{7}}}=\frac{2(e^{\frac{i\pi}{7}}-1)}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}-e^{\frac{-i\pi}{7}}+e^{\frac{i\pi}{7}}e^{\frac{-i\pi}{7}}}$

$Z=\frac{2(e^{\frac{i\pi}{7}}-1)}{1-e^{\frac{i\pi}{7}}-e^{\frac{-i\pi}{7}}+1}=\frac{2(e^{\frac{i\pi}{7}}-1)}{2-2cos(\frac{\pi}{7})}=\frac{e^{\frac{i\pi}{7}}-1}{1-1cos(\frac{\pi}{7})}=\frac{cos(\frac{\pi}{7})+i/sin(\frac{\pi}{7})-1}{1-1cos(\frac{\pi}{7})}$

Donc $Re(Z)=\frac{cos(\frac{\pi}{7})-1}{1-1cos(\frac{\pi}{7})}=-1$

Ainsi, $S=-1$

 

Aidez vous des questions précédentes.

Question 4

Calculer $S'=cos(\frac{\pi}{7})+cos(\frac{2\pi}{7})+cos(3\frac{\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})$.

On vient de calculer S qui vaut:

$S=-1$

Or $cos(\frac{7\pi}{7})=-1$

Donc $S'=0$

Aucun calcul supplémentaire est nécessaire

Question 5

Peut-on généraliser le résultat de la question 3 pour tout n : $\forall n \in \mathbf{N^*}, \displaystyle\sum_{k=1}^n cos(\frac{k\pi}{n})=-1$

Ce résultat se généralise: dans tous les cas, le dernier terme de la somme vaut -1.

Il suffit de montrer que la somme allant jusqu'à $n-1$ est nulle:

Prenons n impair:

Montrons que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{n})=0$

Ici, il y a un nombre pair de termes dans la somme (n est impair donc n-1 est pair).

De plus, on remarque que $\forall\; k\; \in \{1,2,...,n-1\}, cos(\frac{(n-k)\pi}{n})=cos(\frac{(n-k)\pi}{n})=cos(\pi - \frac{k\pi}{n})=-cos(- \frac{k\pi}{n})=-cos(\frac{k\pi}{n})$ 

Ainsi, chaque $cos(\frac{k\pi}{n})$ s'annule avec un $cos(\frac{(n-k)\pi}{n})$ 

Les cos s'annulent 2 à 2, la somme est donc nulle.

 

Pour n pair:

Le raisonnement est exactement le même, seul changement: il y a un nombre impair de termes dans la somme, mais le terme central s'annule:

$cos(\frac{\frac{n}{2}\pi}{n})=cos(\frac{\pi}{2})=0$ 

Remarquez que certains cosinus s'annulent entre eux!