Cours Stage - nombres complexes, forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l'exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ donc

$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1$. 

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c'est-à-dire que son module vaut $1$.

  

Conjugué

Si $z=e^{i\theta}$ alors on a $\boxed{\bar z = e^{-i\theta}}$.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2\pi$ on a, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$\boxed{ e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}}$

On a, en outre, l'égalité suivante :

$\boxed{\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}}$.

 

 

Produit et quotient

Si $\theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :

$\boxed{{(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}}$.

De manière plus générale, si $\theta$ et $\theta'$ sont des réels quelconques :

$\boxed{e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}}$.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

$\boxed{\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.