Cours Stage - nombres complexes, forme trigonométrique et exponentielle

Exercice - Forme exponentielle

L'énoncé

On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation du second degré \(z^2+z+1 = 0\)


Question 1

Résoudre cette équation. On note les solutions \(z_1\) et \(z_2\), la partie imaginaire de \(z_1\) étant positive.

On calcule le discriminant. On vérifie que \(\Delta = -3\).

Il y a donc deux solutions complexes conjuguées :

\(z_1 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \) et \(z_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} \)

Un calcul simple de discriminant.. Attention, dans l’ensemble des nombres complexes, lorsque \(\Delta\) est négatif, il y a deux solutions complexes et conjuguées. Revoyez les formules dans votre cours.


Ici, on vérifie que \(\Delta = -3\)

Question 2

Vérifier que \(z_2 = z_1^2\).

\(z_1^2 = \left( \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right)^2\)

Il s'agit d'une égalité remarquable :

\(z_1^2 = \dfrac{1-3-2i\sqrt{3}}{4}\)

\(z_1^2 = \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)

\(z_1^2 = z_2\)

Calculez \(z_1^2\)

Question 3

Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle.

\(z_1 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\)

Un rapide calcul montre que $\vert z_1 \vert =1$

Notons $\theta$ un argument de $z_1$. On a : 

$\cos \theta=\dfrac{-1}{2}$

$\sin \theta=\dfrac{\sqrt 3}{2}$

Finalement : $\theta =\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]$

Ainsi : \(z_1= e^{i\frac{2\pi}{3}}\)

 

Pour les mêmes raisons  :

\(z_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)

Vous avez peut être déjà fait ce travail. Sinon, revoyez l’écriture exponentielle d’un nombre complexe.


Commencer par le calcul du module. Chercher ensuite son argument. Un cercle trigonométrique au brouillon peut s’avérer utile.

Question 4

Indiquer sur quel cercle de centre \(O\) sont situés les points \(M_1\) et \(M_2\) d'affixes respectives \(z_1\) et \(z_2\).

Placer alors ces points avec précision dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé.

Les points \(M_1\) et \(M_2\) ont des affixes de module $1$ car ils sont de la forme \(e^{i\theta}\).

Ils appartiennent donc au cercle de centre \(O\) et de rayon $1$.


Astuce pour les construire : Les deux affixes des deux points ont une partie réelle égale à $-\dfrac{1}{2}$ et ils sont sur le cercle trigonométrique de rayon $1$.

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\(z_1\) et \(z_2\) sont de module $1$ donc sur un cercle bien connu...


Observer les arguments de \(z_1\) et \(z_2\) et trouver une construction facile des points \(M_1\) et \(M_2\) dans le plan complexe.