Cours Stage - nombres complexes, forme trigonométrique et exponentielle
Exercice d'application

Exercice : Nombres complexes

On pose $z_1=-1-i$ et $z_2=\dfrac{1}{z}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 

1) Ecrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ :

     a) Sous forme algébrique.

     b) Sous forme exponentielle.

2) En déduire le module et un argument de $\dfrac{z_1}{z_2}$ puis les valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{11\pi}{12}$ .

 

 

 

1) a) On a : $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{-1-i}{\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{-2+2i\sqrt{3}-2i-2\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+i\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)$.

 

b) $\vert z_1\vert= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}=\sqrt{2}$.

$\begin{cases} \cos \theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2} \\  \sin\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

Donc :

$Arg(z_1)=\dfrac{-3\pi}{4}[2\pi]$

Ainsi $z_1=\sqrt{2}e^\frac{-3i\pi}{4}$

De même, on prouve que $z_2=e^\frac{i\pi}{3}$

Par suite $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{2}e^\frac{-3i\pi}{4}}{e^\frac{i\pi}{3}}$

$\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}e^{(\frac{-3i\pi}{4}-\frac{i\pi}{3})}$

$\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}e^{\frac{-13i\pi}{12}}$

Or, $\dfrac{-13\pi}{12}+2\pi = \dfrac{11\pi}{12}$

Ainsi : $\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}e^{\frac{11i\pi}{12}}$

 

2) On en déduit que $Arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\dfrac{11\pi}{12}\;[2\pi]$ et que :

$\left\vert \dfrac{z_1}{z_2}\right\vert =\sqrt{2}$.

On a finalement :

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+i\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{11\pi}{12}+i\sin\dfrac{11\pi}{12}\right)$

 

Et, en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient :

$\cos\dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ et

$\sin\dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$