Cours Stage - Nombres complexes, conjugués, équations

Notation algébrique, conjugués.

L'énoncé

On donne les deux nombres complexes suivants : \(z_1= 1+i\sqrt3\)   et   \(z_2= 2-2i\)


Question 1

Donner la notation algébrique de : \(z_1+\overline{z_2}\)

\(z_1+\overline{z_2}= 1+i\sqrt3 + 2+2i\)

\(z_1+\overline{z_2}=3+i(2+\sqrt3)\)

Question 2

Donner la notation algébrique de : \(z_1\times z_2\)

\(z_1\times z_2=( 1+i\sqrt3)(2-2i)\)

\(z_1\times z_2=2-2i+2i\sqrt3+2\sqrt3\)

\(z_1\times z_2=2+2\sqrt3 + i(-2+2\sqrt3)\)

Question 3

Donner la notation algébrique de : \({z_1}^2\)

\({z_1}^2=(1+i\sqrt3)^2\)

\({z_1}^2=1+2i\sqrt3 +3i^2\)

\({z_1}^2=-2+2i\sqrt3\)

Question 4

Donner la notation algébrique de\(\dfrac{z_1}{z_2}\)

On a : \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1+i\sqrt3}{2-2i}\)

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la partie conjuguée du dénominateur :

\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(1+i\sqrt3)(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}\)

\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+2i+2i\sqrt3-2\sqrt3}{2^2+2^2}\)

\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2-2\sqrt3 + i(2+2\sqrt3)}{8}\)

Question 5

Donner la notation algébrique de : \(z_2+\overline{z_1}\)

On remarque que les nombres \(z_2+\overline{z_1}\) et \(z_1+\overline{z_2}\) sont conjugués l'un de l'autre. On utilise donc le résultat de la première question.

Ainsi : \(z_2+\overline{z_1}=\overline{3+i(2+\sqrt3)}\)

\(z_2+\overline{z_1}=3-i(2+\sqrt3)\)