1
Video
Caractérisation de nombres complexes
2
Exercice
QCM - Caractérisation des nombres complexes
3
Video
Nombres complexes et vecteurs
4
Exercice
QCM - Nombres complexes et vecteurs
5
Exercice
Exercice : Ensemble de points, nombres complexes
6
Video
Argument et angle formé par deux vecteurs
7
Exercice
Devoir sur feuille
8
Exercice
Exercice - Polynôme de degré 4
L'énoncé
Les trois questions sont indépendantes. Il est recommandé de représenter graphiquement les ensembles de points trouvés.
Question 1
Soit\(z\) un nombre complexe (avec \(z\neq 2i\)). On définit le nombre complexe \(Z = \dfrac{z+1}{z-2i}\).
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur.
On peut définir le domaine de définition de \(Z\) : \(z \in \mathbb{C} - \{2i\}\).
Posons
\(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels.
On a :
\(Z = \dfrac{(x+1)+i(y)}{x+i(y-2)}\)
\(Z= \dfrac{[(x+1)+i(y)][x-i(y-2)]}{[x+i(y-2)][x-i(y-2)]}\)
\(Z= \dfrac{x^2+y^2+x-2y+i(2x+2-y)}{x^2+(y-2)^2}\).
A est imaginaire pur si et seulement si \(x^2+y^2+x-2y=0\).
On trouve que \(x^2+x=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\) et que \(y^2-2y=(y-1)^2-1\).
Cela veut dire que \(x^2+y^2+x-2y=0\) est équivalent à \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{4}\).
On reconnait ici l'équation cartésienne d'un cercle.
Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur est le cercle de centre \(\left(-\dfrac{1}{2};1\right)\), de rayon \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), privé du point \(B(0;2)\).
Un nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
Songer à une équation cartésienne de cercle.
Question 2
On se place dans le plan complexe.
Déterminer l'ensemble des points\(M(z)\) vérifiant : \(|z+2|=|z-2+3i|\).
On sait que \(|z+2|=|z-2+3i|\) équivaut à \(|z-(-2)|=|z-(2-3i)|\).
Posons \(A(-2)\) et \(B(2-3i)\).
On sait que \(|z_2-z_1|=M_1M_2\), donc on peut dire que \(|z-(-2)|=AM\) et que \(|z-(2-3i)|=BM\).
L'expression de départ équivaut alors à \(AM = BM\).
Que peut-on en dire géométriquement ? \(AM = BM\) signifie que \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\), équivaut à dire que \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(|z-(-2)|=|z-(2-3i)|\) est la médiatrice de \([AB]\), avec \(A(-2)\) et \(B(2-3i)\).
Penser à \(|z_2-z_1|=M_1M_2\) avec \(M_1(z_1)\) et \(M_2(z_2)\)
Quels sont les points équidistants des deux extrémités d'un segment ?
Question 3
On se place dans le plan complexe. Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :
\(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).
Soit \(A\) le point d'affixe \(z_A = -i\).
On a \(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\) équivaut à \(arg(z-(-i)) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\)
Ainsi, \(arg(z-z_A) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).
Par définition de l'argument : \((\vec{u};\vec{AM}) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).
Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\) est la demi-droite ouverte \(]Az)\) formant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec le vecteur \(\vec{u}\).
