Cours Stage - Nombres complexes et géométrie

Exercice : Ensemble de points, nombres complexes

L'énoncé

Les trois questions sont indépendantes. Il est recommandé de représenter graphiquement les ensembles de points trouvés.


Question 1

Soit\(z\) un nombre complexe (avec \(z\neq 2i\)). On définit le nombre complexe \(Z = \dfrac{z+1}{z-2i}\).

Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur.

On peut définir le domaine de définition de \(Z\) : \(z \in \mathbb{C} - \{2i\}\).

Posons 

\(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels.

On a :

\(Z = \dfrac{(x+1)+i(y)}{x+i(y-2)}\)

\(Z= \dfrac{[(x+1)+i(y)][x-i(y-2)]}{[x+i(y-2)][x-i(y-2)]}\)

\(Z= \dfrac{x^2+y^2+x-2y+i(2x+2-y)}{x^2+(y-2)^2}\).

A est imaginaire pur si et seulement si \(x^2+y^2+x-2y=0\).

On trouve que \(x^2+x=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\) et que \(y^2-2y=(y-1)^2-1\).

Cela veut dire que \(x^2+y^2+x-2y=0\) est équivalent à \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{4}\).

On reconnait ici l'équation cartésienne d'un cercle.

Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur est le cercle de centre \(\left(-\dfrac{1}{2};1\right)\), de rayon \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), privé du point \(B(0;2)\).

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Un nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.


Songer à une équation cartésienne de cercle.

Question 2

On se place dans le plan complexe.

Déterminer l'ensemble des points\(M(z)\) vérifiant : \(|z+2|=|z-2+3i|\).

On sait que \(|z+2|=|z-2+3i|\)  équivaut à  \(|z-(-2)|=|z-(2-3i)|\).

Posons \(A(-2)\) et \(B(2-3i)\).

On sait que \(|z_2-z_1|=M_1M_2\), donc on peut dire que \(|z-(-2)|=AM\) et que \(|z-(2-3i)|=BM\).

L'expression de départ équivaut alors à \(AM = BM\).

Que peut-on en dire géométriquement ? \(AM = BM\) signifie que \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\), équivaut à dire que \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).

Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(|z-(-2)|=|z-(2-3i)|\) est la médiatrice de \([AB]\), avec \(A(-2)\) et \(B(2-3i)\).

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Penser à \(|z_2-z_1|=M_1M_2\) avec \(M_1(z_1)\) et \(M_2(z_2)\)


Quels sont les points équidistants des deux extrémités d'un segment ?

Question 3

On se place dans le plan complexe. Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :

\(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).

Soit \(A\) le point d'affixe \(z_A = -i\).

On a \(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\) équivaut à  \(arg(z-(-i)) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\)

Ainsi,  \(arg(z-z_A) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).

Par définition de l'argument :  \((\vec{u};\vec{AM}) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\).

Conclusion : l'ensemble des points \(M\) tels que \(arg(z+i) = \dfrac{\pi}{6} (mod\; 2\pi)\) est la demi-droite ouverte \(]Az)\) formant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec le vecteur \(\vec{u}\).

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