Cours Stage - Formule du binôme de Newton

Formule de binôme de Newton, démonstration 1

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Fiche de cours

Formule du binôme de Newton

 

Définition

 

La formule du binôme de Newton est la suivante :

Pour tout $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ (avec $\mathbb{K}$ l'ensemble des réels ou des complexes) et pour tout $n \in \mathbb{N}$:

$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}$.

Une forme développée de l'expression précédente est :

$(a + b)^n = \left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) a^0b^{n} + \left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) a^1b^{n-1} + ...+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+...+\left ( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right ) a^{n-1}b^{1}+\left ( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right ) a^{n}b^{0}$

Certains termes peuvent être simplifiés. En effet :

$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) = 1$ et $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) = n$.

Ainsi, on réécrit le développement sous la forme :

$(a + b)^n = b^n + n ab^{n-1} + ...+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+...+n a^{n-1}b+a^n$.

On pourra alors remarquer que les puissances de $a$ sont croissantes  de $1$ en $1$ et que les puissances de $b$ sont décroissantes de $1$ en $1$, de telle sorte que la puissance totale (c'est à dire

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