Exercice - Formule du binôme de Newton

On utilise la formule du binôme de Newton :

Soient $x \in \mathbb{R}$ et $ n \in \mathbb{N}$,

$(1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k 1^{n-k}$

Or $1^k = 1$ pour tout $k \in \mathbb{N}$

Ainsi,

$(1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k$

On a montré à la question précédente que :

$\forall x \in \mathbb{R}, \; \forall n \in \mathbb{N} \, (1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k$

Ainsi, en appliquant cette égalité à $x = 1$ on trouve la relation :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$:  $ \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) 1^k = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = (1 + 1)^n = 2^n$

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$, la fonction $x \mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. 

$\left ( \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k \right )' = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \left ( x^k\right)'$

Or, pour $k = 0$ on a

$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) x^0 = 1$

Donc la dérivée du premier terme de la somme est nulle. 

En outre, pour $k \in \mathbb{N}^*$, la dérivée de $x^k$ vaut $kx^{k-1}$

Ainsi, $\left (\displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k \right )' =\displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) kx^{k-1}$

On sait tout d'abord que $\forall x \in \mathbb{R}, \; \forall n \in \mathbb{N} \, (1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k$

On souhaite calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^n k \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)$, qui nous rappelle l'expression obtenue en dérivant le second membre de l'égalité.

En dérivant le premier membre, on trouve $n(1+x)^{n-1}$

Ainsi, on a donc l'égalité entre les deux dérivés :

$n(1+x)^{n-1} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) kx^{k-1}$

Finalement, en prenant $x = 1$, on trouve : 

$n2^{n-1} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k$

On a vu qu'en dérivant une première fois, un facteur $k$ apparaissait.

En dérivant une deuxième fois, on peut s'attendre à ce qu'un facteur $k^2$ apparaisse.

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{N}$, la fonction $x \mapsto \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) kx^{k-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. 

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) kx^{k-1} \right)' = \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k \left (x^{k-1} \right )'.$

Le premier terme de la somme vaut $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) x^{1-1} = n $, donc sa dérivée est nulle.

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \geq 2$, $\left ( x^{k-1} \right )' = (k-1)x^{k-2}$.

Ainsi,

$\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) kx^{k-1} \right)' = \displaystyle \sum_{k=2}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k(k-1)x^{k-2}$. 

Or on sait aussi que $\forall x \in \mathbb{R}, \; \forall n \in \mathbb{N} \, (1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^k$.

On dérive donc deux fois le premier membre de l'égalité : 

$\left ( (1 + x)^n \right )'' = n(n-1)(1 + x)^{n-2}$.

On a donc l'égalité suivante : $n(n-1)(1 + x)^{n-2} = \displaystyle \sum_{k=2}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k(k-1)x^{k-2}$

En remplaçant $x$ par $1$ on trouve : 

$n(n-1)(2)^{n-2} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k(k-1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (les deux premiers termes de la somme sont nuls).

Cependant, ce n'est pas encore le résultat escompté. On remarque alors que $k(k-1) = k^2 - k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

Ainsi, $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k(k-1) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k^2 - \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k$. 

En utilisant la question précédente, on trouve alors que : 

$\displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k(k-1) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k^2 - n2^{n-1}$. 

Ainsi, en prenant l'égalité issue des deux dérivations successives on aboutit à : $n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k^2$.

Enfin, on peut factoriser l'expression du membre de gauche :
$n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} = 2^{n-2}(n(n-1) + 2n) = n(n+1) 2^{n-2}= \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) k^2$