Cours Stage - Racines n-ièmes de l’unité

Application aux racines n-ièmes

L'énoncé

Le but de cet exercice est de s'entrainer à manipuler les racines de complexes et les racines de l'unité.


Question 1

Simplifiez :

$\displaystyle(\frac{1+i\sqrt3}{2})^{2100}$

$\frac{1+i\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}+i.\frac{\sqrt3}{2}=cos(\frac{\pi}{3})+i.sin(\frac{\pi}{3})=e^{i\frac{\pi}{3}}$

Donc:

$(\frac{1+i\sqrt3}{2})^{2100}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{2100}=e^{700\pi}=e^{2\pi\times 350}=1$

Passez en forme exponentielle

Question 2

Trouvez une racine 5-ième de:

$z=-1+i\sqrt3$

On a:

$|z|=\sqrt{1^2+\sqrt3^2}=2$

Donc:

$\frac{z}{2}=-\frac{1}{2}+i.\frac{\sqrt3}{2}=cos(-\frac{2\pi}{6})+i.sin(-\frac{2\pi}{6})=e^{-i\frac{2\pi}{6}}$

Donc $z=2e^{-i\frac{2\pi}{6}}=(\sqrt[5]2e^{-i\frac{2\pi}{30}})^5$

Au final, on obtient:

$z=\sqrt[5]2e^{-i\frac{2\pi}{30}}$

Question 3

Résoudre:

$z^5=-1+i\sqrt3$

On vient de prouver que la racine 5-ième de $-1+i\sqrt3$ est $\sqrt[5]2e^{-i\frac{2\pi}{30}}$.

Ainsi, on a:

$\frac{z}{\sqrt[5]2e^{-i\frac{2\pi}{30}}}=e^{\frac{2ik\pi}{4}}$ avec $k\in\{0,...,4\}$

Au final:

$z=\sqrt[5]2e^{\frac{i\pi(2+15k)}{30}}$ avec $k\in\{0,...,4\}$

Utiliser la Q2 et faire apparaitre une racine de l'unité.

Question 4

Trouvez une racine 7-ième de:

$z=\frac{\sqrt{15}}{4}-i\frac{\sqrt5}{4}$

Calculons le module de z:

$|z|=\sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{4})^2+(\frac{\sqrt5}{4})^2}=\sqrt{\frac{20}{16}}=\frac{2\sqrt5}{4}=\frac{\sqrt5}{2}$

Donc:

$\frac{z}{\frac{\sqrt5}{2}}=\frac{\sqrt3}{2}-i\frac{1}{2}=cos(-\frac{\pi}{6})+i.sin(-\frac{\pi}{6})$

Donc $z=\frac{\sqrt5}{2}.e^{\frac{-i\pi}{6}}=((\frac{\sqrt5}{2})^{\frac{1}{7}}e^{\frac{-i\pi}{42}})^7$

Donc une racine 7-ième de z est:$(\frac{\sqrt5}{2})^{\frac{1}{7}}e^{\frac{-i\pi}{42}}$

 

Passez en forme exponentielle.

Question 5

Résolvez:

$z^7=\frac{\sqrt{15}}{4}-i\frac{\sqrt5}{4}$

On utilise encore une fosi les racines n-ièmes de l'unité:

Cela revient à résoudre

$(\frac{z}{(\frac{\sqrt5}{2})^{\frac{1}{7}}e^{\frac{-i\pi}{42}}})^7=1$

Donc:

$\frac{z}{(\frac{\sqrt5}{2})^{\frac{1}{7}}e^{\frac{-i\pi}{42}}}=e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ avec $k\in\{0,...,6\}$

Ainsi:

$z=(\frac{\sqrt5}{2})^{\frac{1}{7}e^{\frac{i\pi(14k-1)}{42}}}$

Transformez l'équation pour avoir une racine de l'unité du type:

$z'^7=1$