Annale – Exponentielle, intégrale et algorithme

Fonctions composées - exp(u(x))

Fonctions composées

Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée

$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.

Exemple

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.

Déterminons sa dérivée.

On pose : $u(x)= -3x^2+x$.

On a donc : $u'(x)=-6x+1$.

On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.

Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.

 

Autre exemple

Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $\displaystyle \frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.

 

étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

$Df= \mathbb{R} $ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$, c’est toujours positif.

 

étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’ensemble de définition : en $+\infty$ et en $-\infty$.

On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l’indétermination.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x\times 3}{e^{x}(e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}})}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

 

étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On utilise la formule suivante :

$\displaystyle (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$.

$\displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x \hspace{0.2cm} \text{et} \hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$.

Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$.

On a : 

$(1-e^x)\geq 0 \iff 1\geq e^x \iff  0\geq x$

On en déduit le tableau de variations : 

--29 

--30

 

Définition de l'intégrale - Exercice

Calculons \(I = \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt\).

Étape 1 : On repère l’aire recherchée.
Étape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.
Étape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :
\( A = \frac{(B + b) \times h}{2}\).

Opérations sur les primitives

Opérations élémentaires sur les primitives

 

Propriétés

 

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.

Fonction Une primitive Conditions
$u’+v’$ $u+v$  
$ku’$ (avec $k$ constante) $ku$  
$u’u^n$ avec $n$ appartient à $\mathbb{Z}$ et différent de $-1$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $u$ différent de $0$ sur $I$  si $u\leq 0$
$\dfrac{u’}{\sqrt u}$ 2$\sqrt u$ $u>0$ sur $I$
$\dfrac{v’}{v^2}$ $-\dfrac{1}{v}$ $v\neq 0$ sur $I$
$u’e^{u}$ $e^{u}$  
$\dfrac{u’}{u}$

$\ln(u)$

$\ln(-u)$

$u>0$ sur $I$

$u<0$ sur $I$

$u'(v’\circ u)$ $v\circ u$  

 

 

Exemples

1. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

2. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$.

 

Correction

1. $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

Etape 1 : On cherche les expressions de \(u\) et \(u’\) pour arriver à la forme \(u’ e^u\).

\(u (x) = x^2+ 1 \) et \(u'(x)= 2x \)

Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “$2$” manquant.

$ f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1} $

$ f(x)=\dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x) $

Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.

$ F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$

 

2.$ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$

Etape 1 : On note \(u(x)= x^2 + x + 1 \) et \(u'(x)=2x+1\). On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître \(u'(x)\).

On a : $ g(x) = \dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$.

Soit : $ g(x) = \dfrac{3u'(x)}{u(x)}$.

Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.

$ G(x) = 3\ln (x^2 + x + 1)+ c$

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de \(f\) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx\).

$J$=\(\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx\).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx\)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= \(\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2\)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= \(\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})\)

$I$= \(\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2 \)  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$.

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1 \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)\)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)

$J$= $0$

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