PRODUIT SCALAIRE

Produit scalaire, norme et distance 

Définition :

Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ vérifiant $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \|u\|\times\|v\|\times \cos(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls (si l'un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut 0).

On en déduit alors que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} = \|u\|^2$

Formules de polarisation : 

Ces formules permettent de calculer les produits scalaires sans utiliser le cosinus.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u+v\|^2 -\|u\|^2 - \|v\|^2 \right )$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|v-u\|^2  \right )$

Preuve :

$\begin{align}
\|u+v\|^2 &= (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \\
&= \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}.\overrightarrow{v} \\
&= \|\overrightarrow{u}\|^2+ 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 \end{align}$
On obtient enfin la formule de polarisation en isolant $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ dans l'équation précédente. 
Dans cette démonstration, on a utilisé la propriété de symétrie du produit scalaire, c'est à dire que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

On pourra essayer de démontrer la deuxième formule en développant cette fois-ci $\|v-u\|^2$.

Propriété :

Dans une base orthonormée, pour tous $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v}\left ( \begin{array}{c}  x' \\ y' \\ z'  \end{array}\right)$,
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'$ et $\|u \| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Exemple :

Soient $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ 0 \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{v}\left ( \begin{array}{c}  -2 \\ -\sqrt{3} \\ 1 \end{array}\right)$ deux vecteurs de l'espace,

Alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \times (-2) + \sqrt{3} \times (- \sqrt{3}) + 0 \times 1 = -2 - 3 = -5$  et $\|u \| = \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2+0^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

Distance entre deux points, définition :

Soient $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ deux points de l'espace,

Alors la distance entre $A$ et $B$ vaut $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Exemple  

Soient $A(3; -1;0)$ et $B(0; 2; -1)$ deux points de l'espace,

alors $\overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ -1 \end{array} \right)$ et

$AB = \sqrt{(-3)^2+3^2+1^2} = \sqrt{19}$