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DISTANCE D'UN POINT À UN PLAN

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Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 1

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Soit \(\Delta \left\{ \begin{array}{ll} x = 2t - 1 \\ y = t + 6 \\ z = 3t + 3 \end{array} \right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\).

Soit \(M (0, 1, 2)\).

Calculer la distance entre le point et la droite.

Étape 1 : On remplace \(x, y \text{ et } z\) par les coordonnées du point \(M\). Si le nombre \(t\) est unique, alors \(M\) appartient à la droite.
Étape 2 : On définit un point \(H\) tel que \(H\) appartient à \(\Delta\) et \( \overrightarrow{MH} . \overrightarrow{u} = 0\).
Étape 3 : On définit un vecteur \(\overrightarrow{u}\) de \(\Delta\) à partir des coefficients de \(t\).
Étape 4 : On définit et on résout le système d'équations vérifiant les 2 conditions du point \(H\).
Étape 5 : Grâce à la valeur de \(t\), on peut définir les coordonnées du point \(H\).
Etape 6 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur \(MH\) à partir des coordonnées de \(M\) et de \(H\) :