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DISTANCE D'UN POINT À UN PLAN

Exercice - Distance d'un point à un plan



L'énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormal \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\).


  • Question 1

    Partie A — Restitution organisée de connaissances
    Soit \(D\) le point de coordonnées \((x_D, y_D, z_D)\) et \(P\) le plan d'équation \(a x + b y + c z + d = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
    Démontrer que la distance du point \(D\) au plan \(P\) est donnée par : \(d (D,P) = \dfrac{|ax_D+by_D+cz_D+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

  • Question 2

    Partie B
    On considère les points \(A(3 ; - 2 ; 2)\), \(B(6 ; - 2 ; - 1)\), \(C(6 ; 1 ; 5)\) et \(D(4 ; 0 ; - 1)\).
    1. Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle. En déduire l'aire du triangle \(ABC\).

  • Question 3

    Vérifier que le vecteur \(\overrightarrow{n}(1 ; -2 ; 1)\) est normal au plan \((ABC)\). En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

  • Question 4

    Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). En déduire le volume $V$ du tétraèdre \(ABCD\).

  • Question 5

    Partie C
    Soit \(Q\) le plan d'équation \(x - 2 y + z - 5 = 0\).
    1. Déterminer les positions relatives des deux plans \(Q\) et \((ABC)\).

  • Question 6

    \(Q\) coupe les droites \((DA)\), \((DB)\) et \((DC)\) respectivement en \(E\), \(F\) et \(G\).
    Déterminer les coordonnées de \(E\) et montrer que \(E\) appartient au segment \([DA]\).

  • Question 7

    Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d'initiative,même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Déterminer le volume $V'$ du tétraèdre \(EFGD\).

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