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ORTHOGONALITÉ, PROJECTION ORTHOGONALE

Exercice - Orthogonalité et tétraèdre



L'énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormal \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).
On considère les points \(A(3 ; 4 ; 0)\) ; \(B (0 ; 5 ; 0)\) et \(C (0 ; 0 ; 5)\).
On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\).


  • Question 1

    Faire une figure où l'on placera les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(I\) dans le repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

  • Question 2

    Démontrer que les triangles \(OAC\) et \(OBC\) sont rectangles et isocèles.
    Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

  • Question 3

    figure courbe

    Soit \(H\left(\dfrac{15}{19};\dfrac{45}{19};\dfrac{45}{19}\right)\)
    Démontrer que les points \(H\), \(C\) et \(I\) sont alignés.

  • Question 4

    Démontrer que \(H\) est le projeté orthogonal de \(O\) sur le plan \((ABC)\).

  • Question 5

    En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

  • Question 6

    Calculs d'aire et de volume
    Calculer l'aire du triangle \(OAB\). En déduire le volume du tétraèdre \(OABC\).

  • Question 7

    Déterminer la distance du point \(O\) au plan \((ABC)\).

  • Question 8

    Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

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