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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Suites et probabilités



L'énoncé

On considère plusieurs sacs de billes \(S_1\), \(S_2\), ..., \(S_n\), ... tels que :
– le premier, \(S_1\), contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
– chacun des suivants, \(S_2\), \(S_3\), ..., \(S_n\), ... contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
– on tire au hasard une bille dans \(S_1\);
– on place la bille tirée de \(S_1\) dans \(S_2\), puis on tire au hasard une bille dans \(S_2\);
– on place la bille tirée de \(S_2\) dans \(S_3\), puis on tire au hasard une bille dans \(S_3\);
– etc.

Pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(E_n\) l’évènement : «la bille tirée dans \(S_n\) est verte» et on note \(P(E_n)\) sa probabilité.


  • Question 1

    D'après l'énoncé, donner les valeurs de \(P(E_1)\), \(P_{E_1}(E_2)\), \(P_\overline{{E_1}}(E_2)\).
    En déduire la valeur de \(P(E_2)\).

  • Question 2

    À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer \(P(E_{n+1})\) en fonction de \(P(E_n)\).

  • Question 3

    Étude dune suite
    On considère la suite \((u_n)\) définie par :
    \(\left\{\begin{array}{left}u_1 = \dfrac{2}{5} \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{5} u_n +\dfrac{2}{5} \, pour \, tout \, n \geq 1 \end{array}\right.\)

    Démontrer que la suite \((u_n)\) est majorée par \(\dfrac{1}{2}.\)

  • Question 4

    Démontrer que \((u_n)\) est croissante.

  • Question 5

    Justifier que la suite \((u_n)\) est convergente et préciser sa limite.

  • Question 6

    Sachant que \(P(E_n) = u_n\) et à l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités \(P(E_n)\).

  • Question 7

    Montrer que la suite $V$ définie par : \(V_n = u_n -0,5\) est une suite géométrique.

  • Question 8

    Déterminer la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle on a : \(0,499 99 \leq P(E_n) \leq 0,5\)

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