Formule des probabilités totales
Définition
Une partition de $\Omega$ est un ensemble de parties de $\Omega$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $\Omega$.
Propriété
Si $B_1 , B_2\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$, alors, pour tout événement $A$, on a:
$p(A)= p(A\cap B_1) + p(A\cap B_2)+\ldots + p(A\cap B_n)$
Exemple
Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).
Les jetons peuvent être ronds ou carrés.
La moitié des jetons blancs sont ronds, 70% des jetons verts sont carrés et 4 jetons jaunes sur 10 sont ronds.
On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?
On note les événements :
$B$ : "Le jeton est blanc ".
$V$ : "Le jeton est vert ".
$J$ : "Le jeton est jaune ".
$R$ : "Le jeton est rond ".
$C$ : "Le jeton est carré ".
- étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.

- étape 2 : On remarque que les événements $B, V$ et $J$ forment une partition de l'univers (et il faut l'écrire !).
- étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.
$p(R)= p(B\cap R) + p(J\cap R)+p(V\cap R)$
$p(R)= p(B)\times p_{B}(R) + p(J)\times p_{J}(R)+ p(V)\times p_{V}(R)$
$p(R)= 0,5\times 0,5 + 0,25 \times 0,3 + 0,25\times 0,4$
$p(R) = 0,425$
La probabilité que le jeton soit rond est égale à 0,425.