STAGE - PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Formule des probabilités totales

Définition

Une partition de $\Omega$ est un ensemble de parties de $\Omega$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $\Omega$.

Propriété

Si $B_1 , B_2\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$, alors, pour tout événement $A$, on a:

$p(A)= p(A\cap B_1) + p(A\cap B_2)+\ldots + p(A\cap B_n)$

Exemple

Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).

Les jetons peuvent être ronds ou carrés.

La moitié des jetons blancs sont ronds, 70% des jetons verts sont carrés et 4 jetons jaunes sur 10 sont ronds.

On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?

On note les événements :

$B$ : "Le jeton est blanc ".

$V$ : "Le jeton est vert ".

$J$ : "Le jeton est jaune ".

$R$ : "Le jeton est rond ".

$C$ : "Le jeton est carré ".

• étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.

• étape 2 : On remarque que les événements $B, V$ et $J$ forment une partition de l'univers (et il faut l'écrire !).
• étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.

$p(R)= p(B\cap R) + p(J\cap R)+p(V\cap R)$

$p(R)= p(B)\times p_{B}(R) + p(J)\times p_{J}(R)+ p(V)\times p_{V}(R)$

$p(R)= 0,5\times 0,5 + 0,25 \times 0,3 + 0,25\times 0,4$

$p(R) = 0,425$

La probabilité que le jeton soit rond est égale à 0,425.