Terminale > Mathématiques > Probabilités, loi binomiale > Stage - Probabilités conditionnelles
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Si deux événements sont dépendants plutôt qu'indépendants, comment calculer la probabilité que les deux se réalisent, puisque la probabilité de réalisation de l'un dépend de la réalisation de l'autre ?
Il nous faut connaître pour cela le degré de dépendance des deux événements qui est indiqué par la notion de probabilité conditionnelle.
Soient $A$ et $B$ deux événements, $B$ étant supposé de probabilité non nulle.
On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, la probabilité de réalisation de l'événement $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé.
On la note :$P_B(A) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$
$P_B(A)$ se lit "probabilité de $A$ si $B$" ou "probabilité de $A$ sachant $B$" .
On représente souvent l'arbre suivant :
Exemple
Une entreprise fabrique des boulons destinés à l'industrie. On admet que 3% des boulons présentent un défaut et sont inutilisables. On contrôle les boulons fabriqués.
Ce contrôle refuse 95% des boulons avec défaut et accepte 92% des boulons sans défaut.
On choisit un boulon au hasard.
On note:
$D $ = "le boulon a un défaut"
$A$ = "le boulon est accepté"
Que valent $P_D(\overline{A})$ et $P_{\overline{D}}(A)$ ?
On interprète chaque pourcentage présent dans l'énoncé sous forme de probabilité.
On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l'énoncé avec la notation appropriée.
$P_{D}(\overline{A})=0,95$
$P_{\overline{D}}(A)=0,92$.
Pour tous événements $A$ et $B$ quelconques, on a :
$p(A\cap B) = p(B) \times \mathrm{p}_B(A)$
$p(A\cap B) = p(A) \times \mathrm{p}_A(B)$
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