STAGE - PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Probabilités conditionnelles

Si deux événements sont dépendants plutôt qu'indépendants, comment calculer la probabilité que les deux se réalisent, puisque la probabilité de réalisation de l'un dépend de la réalisation de l'autre ?

Il nous faut connaître pour cela le degré de dépendance des deux événements qui est indiqué par la notion de probabilité conditionnelle.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements, $B$ étant supposé de probabilité non nulle.

On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, la probabilité de réalisation de l'événement $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé.

On la note :$P_B(A) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$

$P_B(A)$ se lit "probabilité de $A$ si $B$" ou "probabilité  de $A$ sachant $B$" .

On représente souvent l'arbre suivant :

Exemple

Une entreprise fabrique des boulons destinés à l'industrie. On admet que 3% des boulons présentent un défaut et sont inutilisables. On contrôle les boulons fabriqués.
Ce contrôle refuse 95% des boulons avec défaut et accepte 92% des boulons sans défaut.
On choisit un boulon au hasard.
On note:

$D $ = "le boulon a un défaut"  

$A$ = "le boulon est accepté"

Que valent $P_D(\overline{A})$  et $P_{\overline{D}}(A)$ ?

On interprète chaque pourcentage présent dans l'énoncé sous forme de probabilité.

On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l'énoncé avec la notation appropriée.

$P_{D}(\overline{A})=0,95$

$P_{\overline{D}}(A)=0,92$.

Application des probabilités conditionnelles au calcul de $p(A\cap B)$

Pour tous événements $A$ et $B$ quelconques, on a :

$p(A\cap B) = p(B) \times \mathrm{p}_B(A)$ 

$p(A\cap B) = p(A) \times \mathrm{p}_A(B)$