L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Produit scalaire dans l'espace

Rappel : Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{v}$.

Exemple :

Propriétés

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ colinéaires et non nuls ont la même direction.

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Exemple

Les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;3;1)$ et $\overrightarrow{v}(-6;9;-3)$ sont colinéaires car $\overrightarrow{v}=-3\times\overrightarrow{u}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ et $\overrightarrow{v}(4;-6;-2)$ ne sont pas colinéaires car

$2\times 2=4$   ;   $2\times(-3)=-6$    mais   $2\times 1\neq -2$.

Produit scalaire, Définition

Dans l'espace, une unité de longueur étant choisie, on a pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v} ||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} ||^2)$.

Coordonnées

On considère les deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x;y;z)$ et $\overrightarrow{v}(x';y';z')$, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ est le réel :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$.

Théorème

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls et trois points $O$, $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires,

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux : on notera $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$.

Exemple

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(1;3;1)$ et $\overrightarrow{v}(4;1;-7)$.

Sont-ils orthogonaux ?

Correction

On calcule leur produit scalaire :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times 4+3\times1+1\times (-7)=0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux car leur produit scalaire est nul.