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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Équation paramétrique d'une droite

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Système d'équations paramétriques d'une droite

 

Définition

 

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(\alpha;\beta;\gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$.

On traduit cette égalité par un système d'équations paramétriques de la droite $D$:

\(D\left\{ \begin{array}{ll}x-x_A=k\alpha \\y-y_A=k\beta  \\z-z_A=k\gamma\end{array} \right. \)      avec $k \in \mathbb{R}$

 

 

Exemple

Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, avec $\overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$.

Donner un système d'équations paramétriques de $\Delta$

 

Correction

On définit un système d'équations paramétriques de $\Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$.

\(\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x-3=k(-2)  \\y-4=-k  \\z+5=3k\end{array} \right. \)      avec $k \in \mathbb{R}$

$\iff$ \(\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x=3-2k  \\y=-k+4  \\z=3k-5\end{array} \right. \)     avec $k \in \mathbb{R}$