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LA LOI EXPONENTIELLE

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Loi exponentielle sur [0 ; +infini[

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Un rappel de cours sur la loi exponentielle sur [0 ; +infini[ en Maths TS.

Loi exponentielle sur $[0 ; +\infty[$

 

Définition

 

Soit $\lambda>0$ un paramètre réel.

Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ si et seulement si la fonction densité $f$ de cette loi est définie sur $[0 ; +\infty[$ par:

\( \displaystyle f(x)= \lambda e^{-\lambda x}\)

$f$  est continue et positive et  \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int \limits_{0} ^{x}f(t)dt=1 \)

Ainsi, $f$ est bien une densité de probabilité.

Voici la représentation graphique du cas $\lambda=2$

loi-exponentielle-2

Propriétés

 

La fonction de répartition vaut:

\( \displaystyle P(X \leqslant x) = \int \limits_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x \)  ou encore : 

\( \displaystyle P(X \leqslant x) = 1-e^{-\lambda x} \)

fonction-de-repartition-loi-exponentielle-3

 

En utilisant l'événement contraire, on a :

\( \displaystyle P(X \geqslant x) = e^{-\lambda x} \)

 

fonction-de-repartition-loi-exponentielle