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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Suite de matrices



L'énoncé

Plus l’année avance, plus Bertrand est en retard en cours. Le premier jour, il était à l’heure.
Par la suite, s’il est à l’heure un jour, la probabilité qu’il soit à l’heure le lendemain est de 30%. S’il est en retard un jour, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est de 50%.

Soit \(h_n\) et \(r_n\) les probabilités que Bertrand soit respectivement à l’heure et en retard le n-ième jour.

On pose, pour tout entier naturel n, \(U_n = \begin{pmatrix} h_n \\ r_n \end{pmatrix} \) et \(U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).
  • Question 1

    Exprimer \(h_{n+1}\) et \(r_{n+1}\) en fonction de \(h_{n}\) et \(r_{n}\).

  • Question 2

    En déduire la matrice carrée A dordre 2 telle que \(U_{n+1} = AU_n\)

  • Question 3

    Démontrer que pour tout entier naturel n, \(U_n = A^nU_0\)

  • Question 4

    Démontrer que pour tout entier naturel $n$,  \(A^n = \dfrac{1}{12} \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 7 & 7 \end{pmatrix} + \left(\dfrac{-1}{5}\right)^n \times \dfrac{1}{12} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -7 & 5 \end{pmatrix}\)

  • Question 5

    En déduire lexpression de \(U_n\) en fonction de n.

  • Question 6

    A long terme, quelle est la probabilité que Bertrand soit à l'heure ?

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