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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Caractérisation de nombres complexes

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Caractérisations des nombres complexes

 

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$.

 

Exemple

  • $2i$ est imaginaire pur,
  • $3$ est réel
  • $3+2i$ n'est ni réel, ni imaginaire pur.

 

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $\boxed{z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow Im(z)=0}$.

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $\boxed{z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow Re(z)=0}$.

 

Caractérisation avec l'argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

 $\bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

 $\bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

 

Illustration graphique

 

--37

L'affixe du point $M$ est un réel négatif, tandis que l'affixe du point $N$ est imaginaire pur.

le point $A$ a un affixe réel égal à $1$.